2012_浙江卷 (2012·理)
19．（本题满分 14 分）已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1 分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等） 3 个球，记随机变量 $X$ 为取出此 $\mathbf{3}$ 球所得分数之和。
（I）求 $X$ 的分布列；
（II）求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ．
本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分 14 分。 （I）由题意得 $X$ 取 3，4，5，6，且
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分 14 分。
（I）由题意得 $X$ 取 3，4，5，6，且
$$ \begin{array}{ll} P(X=3)=\frac{C_{5}^{3}}{C_{9}^{3}}=\frac{5}{42}, & P(X=4)=\frac{C_{4}^{1} \cdot C_{5}^{2}}{C_{9}^{3}}=\frac{10}{21}, \\ P(X=5)=\frac{C_{4}^{2} \cdot C_{5}^{2}}{C_{9}^{3}}=\frac{5}{14}, & P(X=6)=\frac{C_{4}^{4}}{C_{9}^{3}}=\frac{1}{21} . \end{array} $$
所以 $X$ 的分布列为
| $X$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{6}$ |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{5}{42}$ | $\frac{10}{21}$ | $\frac{5}{14}$ | $\frac{1}{21}$ |
（ II）由（I）知
$$ E(X)=3 \cdot P(X=3)+4 \cdot P(X=4)+5 \cdot P(X=5)+6 \cdot P(X=6)=\frac{13}{3} . $$