（12分）（2008•四川）设数列 a _ n 的前 n…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【考点】数列的应用．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（I）当 $b=2$ 时，由题设条件知 $a_{n+1}=2 a_{n}+2^{n}$ ．由此可知 $a_{n+1}-(n+1) \cdot 2^{n}=2 a_{n}+2^{n}- (n+1) \cdot 2^{n}=2 ~\left(a_{n}-n \cdot 2^{n-1}\right) ~$ ，所以 $\left\{a_{n}-n \cdot 2^{n-1}\right\}$ 是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列。
（II）当 $b=2$ 时，由题设条件知 $a_{n}=(n+1) 2^{n-1}$ ；当 $b \neq 2$ 时，由题意得
$a_{n+1}-\frac{1}{2-b} \cdot 2^{n+1}=b a_{n}+2^{n}-\frac{1}{2-b} \cdot 2^{n+1}=b\left(a_{n}-\frac{1}{2-b} \cdot 2^{n}\right)$ ，由此能够导出 $\left\{a_{n}\right\}$的通项公式。

【解答】解：（I ）当 $b=2$ 时，由题意知 $2 a_{1}-2=a_{1}$ ，解得 $a_{1}=2$ ，
且 $b a_{n}-2^{n}=(b-1) S_{n}$
$\mathrm{ba}_{\mathrm{n}+1}-2^{\mathrm{n}+1}=(\mathrm{b}-1) \mathrm{S}_{\mathrm{n}+1}$
两式相减得 $b\left(a_{n+1}-a_{n}\right)-2^{n}=(b-1) a_{n+1}$
即 $a_{n+1}=b a_{n}+2^{n}$①
当 $b=2$ 时，由①知 $a_{n+1}=2 a_{n}+2^{n}$
于是 $a_{n+1}-(n+1) \cdot 2^{n}=2 a_{n}+2^{n}-(n+1) \cdot 2^{n}=2\left(a_{n}-n \cdot 2^{n-1}\right)$
又 $a_{1}-1 \cdot 2^{0}=1 \neq 0$ ，所以 $\left\{a_{n}-n \cdot 2^{n-1}\right\}$ 是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列。
（II）当 $b=2$ 时，由（I）知 $a_{n}-n \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$ ，
即 $a_{n}=(n+1) 2^{n-1}$
当 $b \neq 2$ 时，由①得 $a_{n+1}-\frac{1}{2-b} \cdot 2^{n+1}=b a_{n}+2^{n}-\frac{1}{2-b} \cdot 2^{n+1}$
$=b a_{n}-\frac{b}{2-b} \cdot 2^{n}=b\left(a_{n}-\frac{1}{2-b} \cdot 2^{n}\right)$
因此 $a_{n+1}-\frac{1}{2-b} \cdot 2^{n+1}=b\left(a_{n}-\frac{1}{2-b} \cdot 2^{n}\right)=\frac{2(1-b)}{2-b} \cdot b^{n}$
即 $a_{n+1}=\frac{1}{2-b} \cdot 2^{n+1}+\frac{2(1-b)}{2-b} \cdot b^{n}$
所以 $a_{n}=\frac{1}{2-b} \cdot 2^{n}+\frac{2(1-b)}{2-b} \cdot b^{n-1}$ ．

【点评】此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类讨论思想；推移脚标两式相减是解决含有 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 的递推公式的重要手段，使其转化为不含 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键。