（10）已知椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2…——2012 高考数学第 10 题答案解析

【解答】
（5分）（2012－山东）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，与双曲线 $x 2-\mathrm{y}^{2}=1$ 的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16 ，则椭圆 C 的方程为
A．$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$
B．$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{6}=1$
C．$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$
D．$\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{5}=1$

考点 圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．
：
专题 圆锥曲线的定义、性质与方程．
：

分析 由题意，双曲线 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}=1$ 的渐近线方程为 $\mathrm{y}= \pm \mathrm{x}$ ，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得 $(2,2)$ 在椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1$ ．利用 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，即可求得椭圆方程．
解答 解：由题意，双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的渐近线方程为 $y= \pm x$
：∵ 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16 ，故边长为 4 ，
$\therefore(2,2)$ 在椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0)$ 上
$\therefore \frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}=1$
又 $\because \mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4}$
$\therefore \mathrm{a}^{2}=4 \mathrm{~b}^{2}$
$\therefore \mathrm{a}^{2}=20, \mathrm{~b}^{2}=5$
∴ 椭圆方程为：$\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{5}=1$
故选D．
点评 本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关 ：键．