（5分）设 F 为抛物线 C： y^ 2 =3 x 的焦点…——2014 高考数学第 10 题答案解析

【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于 y 的一元二次方程，由根与系数关系得到 $A, B$ 两点纵坐标的和与积，把 $\triangle O A B$ 的面积表示为两个小三角形 $A O F$ 与 $B O F$ 的面积和得答案。

【解答】解：由 $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}$ ，得 $2 \mathrm{p}=3, \mathrm{p}=\frac{3}{2}$ ，
则 $\mathrm{F}\left(\frac{3}{4}, 0\right)$ ．
∴ 过 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 的直线方程为 $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\mathrm{x}-\frac{3}{4}\right)$ ，
即 $x=\sqrt{3} y+\frac{3}{4}$ 。

联立 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=3 x \\ x=\sqrt{3} y+\frac{3}{4}\end{array}\right.$ ，得 $4 y^{2}-12 \sqrt{3} y-9=0$ ．
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
则 $\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}=3 \sqrt{3}, \mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}=-\frac{9}{4}$ 。
$\therefore S_{\triangle O A B}=S_{\triangle O A F}+S_{\triangle O F B}=\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\left|y_{1}-y_{2}\right|=\frac{3}{8} \sqrt{\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}-4 y_{1} y_{2}}=\frac{3}{8} \times \sqrt{(3 \sqrt{3})^{2}+9}=\frac{9}{4}$ ．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．