（本小题满分 12 分） 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A…——2015 高考数学第 20 题答案解析

【解析】（I）设每天 $A, B$ 两种产品的生产数量分别为 $x, y$ ，相应的获利为 $z$ ，
则有 $\left\{\begin{array}{l}2 x+1.5 y \leq W, \\ x+1.5 y \leq 12, \\ 2 x-y \geq 0, \\ x \geq 0, y \geq 0 .\end{array}\right.$
（1）

第 20 颢解答

第 20 影解答

第 20 颢解答

目标函数为 $z=1000 x+1200 y$ ．
当 $W=12$ 时，（1）表示的平面区域吅图 1 ，三个顶点分别为 $A(0,0), B(2.4,4.8), C(6,0)$ ．
将 $z=1000 x+1200 y$ 变形为 $y=-\frac{5}{6} x+\frac{z}{1200}$ ，
当 $x=2.4, y=4.8$ 时，直线 $l: y=-\frac{5}{6} x+\frac{z}{1200}$ 在 $y$ 轴上的截距最大，
最大获利 $Z=z_{\text {max }}=2.4 \times 1000+4.8 \times 1200=8160$ ．
当 $W=15$ 时，（1）表示的平面区域如图 2，三个顶点分别为 $A(0,0), B(3,6), C(7.5,0)$ ．
将 $z=1000 x+1200 y$ 变形为 $y=-\frac{5}{6} x+\frac{z}{1200}$ ，
当 $x=3, y=6$ 时，直线 $l: y=-\frac{5}{6} x+\frac{z}{1200}$ 在 $y$ 轴上的截距最大，
最大获利 $Z=z_{\text {max }}=3 \times 1000+6 \times 1200=10200$ ．

当 $W=18$ 时，（1）表示的平面区域如图 3，
四个顶点分别为 $A(0,0), B(3,6), C(6,4), D(9,0)$ ．
将 $z=1000 x+1200 y$ 变形为 $y=-\frac{5}{6} x+\frac{z}{1200}$ ，
当 $x=6, y=4$ 时，直线 $l: y=-\frac{5}{6} x+\frac{z}{1200}$ 在 $y$ 轴上的截距最大，
最大获利 $Z=z_{\text {max }}=6 \times 1000+4 \times 1200=10800$ ．

## 故最大获利 $Z$ 的分布列为

因此，$E(Z)=8160 \times 0.3+10200 \times 0.5+10800 \times 0.2=9708$ ．
（II）由（I ）知，一天最大获利超过 10000 元的概率 $p_{1}=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7$ ，
由二项分布， 3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为 $p=1-\left(1-p_{1}\right)^{3}=1-0.3^{3}=0.973$ ．
【考点定位】线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布．
【名师点睛】二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点。独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有＂恰好＂字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有＂至少＂或＂至多＂字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样。