2015_退役省自主命题 (2015·文)
21、（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 两点，且 $\mathrm{PQ} \perp P F_{1}$ ．
（I）若 $\left|P F_{1}\right|=2+\sqrt{2},\left|P F_{2}\right|=2-\sqrt{2}$ ，求椭圆的标准方程．
（II）若 $|\mathrm{PQ}|=\lambda\left|P F_{1}\right|$ ，且 $\frac{3}{4} \leq \lambda \leq \frac{4}{3}$ ，试确定椭圆离心率的取值范围．
【答案】（I ）$\frac{x^{2}}{4}+\mathrm{y}^{2}=1$ ；（II）$\frac{\sqrt{2}}{2}
试题分析：（I）由椭圆的定义知 $2 a=\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|$ 可求出 $a$ 的值，再由 $\mathrm{PF}_{1} \perp \mathrm{PF}_{2}$ 及勾股定理可求得 $c$ 的
值，最后由 $b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}$ 求得 $b$ 的值，从而根据椭圆的标准方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 得到结果；
（II）由 $\mathrm{PF}_{1} \perp P Q,|P Q|=\lambda\left|\mathrm{PF}_{1}\right|$ ，得 $\left|\mathrm{QF}_{1}\right|=\sqrt{\left|\mathrm{PF}_{1}\right|^{2}+|\mathrm{PQ}|^{2}}=\sqrt{1+\lambda^{2}}\left|\mathrm{PF}_{1}\right|$
由椭圆的定义，$\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=2 a,\left|\mathrm{QF}_{1}\right|+\left|\mathrm{QF}_{2}\right|=2 a$ ，进而 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+|\mathrm{PQ}|+\left|\mathrm{QF}_{1}\right|=4 a$
于是 $\left(1+\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}\right)\left|\mathrm{PF}_{1}\right|=4 a$ ．解得 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|=\frac{4 a}{1+\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}}$ ，故 $\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=2 a-\left|\mathrm{PF}_{1}\right|=\frac{2 a\left(\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}-1\right)}{1+\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}}$ ．
再注意到 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|^{2}+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|^{2}=\left|\mathrm{PF}_{2}\right|^{2}=(2 c)^{2}=4 c^{2}$ 从而 $\left(\frac{4 a}{1+\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}}\right)^{2}+\left(\frac{2 a\left(\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}-1\right)}{1+\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}}\right)^{2}=4 c^{2}$ ，
两边除以 $4 a^{2}$ ，得 $\frac{1}{\left(1+/+\sqrt{1+/^{2}}\right)^{2}}+\frac{\left(/+\sqrt{1+/^{2}}-1\right)^{2}}{\left(1+/+\sqrt{1+/^{2}}\right)^{2}}=e^{2}$ ，若记 $t=1+/+\sqrt{1+/^{2}}$ ，则上式变成
$e^{2}=\frac{4+(\mathrm{t}-2)^{2}}{t^{2}}=8 \underset{\epsilon}{\otimes}-\frac{1}{4} \underset{\dot{\dot{\dot{t}}}}{\ddot{\ddot{m}}}+\frac{1}{2}$ ．再由 $\frac{3}{4} £ /<\frac{4}{3}$ ，并注意函数的单调性，即可求得离心率 $e$ 的取值范围。
试题解析：（1）由椭圆的定义， $2 a=\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=4$ ，故 $a=2$ ．
设椭圆的半焦距为 $c$ ，由已知 $\mathrm{PF}_{1}{ }^{\wedge} \mathrm{PF}_{2}$ ，因此
$2 c=\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}\right|=\sqrt{\left|\mathrm{PF}_{1}\right|^{2}+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|^{2}}=\sqrt{(2+\sqrt{2})^{2}+(2-\sqrt{2})^{2}}=2 \sqrt{3}$ ，即 $\mathrm{c}=\sqrt{3}$ ．
从而 $\mathrm{b}=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=1$
故所求椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ．
（2）如题（21）图，由 $\mathrm{PF}_{1} \perp P Q,|P Q|=\lambda\left|\mathrm{PF}_{1}\right|$ ，得
$\left|\mathrm{QF}_{1}\right|=\sqrt{\left|\mathrm{PF}_{1}\right|^{2}+|\mathrm{PQ}|^{2}}=\sqrt{1+\lambda^{2}}\left|\mathrm{PF}_{1}\right|$
由椭圆的定义，$\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=2 a,\left|\mathrm{QF}_{1}\right|+\left|\mathrm{QF}_{2}\right|=2 a$ ，进而 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+|\mathrm{PQ}|+\left|\mathrm{QF}_{1}\right|=4 a$
于是 $\left(1+\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}\right)\left|\mathrm{PF}_{1}\right|=4 a$ ．
解得 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|=\frac{4 a}{1+\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}}$ ，故 $\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=2 a-\left|\mathrm{PF}_{1}\right|=\frac{2 a\left(\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}-1\right)}{1+\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}}$ ．
由勾股定理得 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|^{2}+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|^{2}=\left|\mathrm{PF}_{2}\right|^{2}=(2 c)^{2}=4 c^{2}$ ，
从而 $\left(\frac{4 a}{1+\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}}\right)^{2}+\left(\frac{2 a\left(\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}-1\right)}{1+\lambda+\sqrt{1+\lambda^{2}}}\right)^{2}=4 c^{2}$ ，
两边除以 $4 a^{2}$ ，得 $\frac{1}{\left(1+/+\sqrt{1+/^{2}}\right)^{2}}+\frac{\left(/+\sqrt{1+/^{2}}-1\right)^{2}}{\left(1+/+\sqrt{1+/^{2}}\right)^{2}}=e^{2}$ ，
若记 $t=1+/+\sqrt{1+/^{2}}$ ，则上式变成 $e^{2}=\frac{4+(t-2)^{2}}{t^{2}}=8\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{1}{2}$ ．
由 $\frac{3}{4} £ /<\frac{4}{3}$ ，并注意到 $1+/+\sqrt{1+/^{2}}$ 关于 $/$ 的单调性，得 $3 £ t<4$ ，即 $\frac{1}{4}<\frac{1}{t} £ \frac{1}{3}$ ，
进而 $\frac{1}{2}
【名师点睛】本题椭圆的定义、标准方程、简单几何性质的应用，第一问题应用椭圆的定义及基本量间的关第易于求解，第二问应用条件、椭圆的定义及勾股定理建军立离心率与 $\lambda$ 的关系式，从而将离心率 $e$ 表示成为 $\lambda$ 的函数，然后得用函数相关知识，求其值域，即是所求的范围本题属于较难题，注意运算的准确性及函数思想方法的应用。