（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另…——2013 高考数学第 20 题答案解析

【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式。

【专题】51：概率与统计．
【分析】（I）设 $\mathrm{A}_{1}$ 表示事件＂第二局结果为甲胜＂， $\mathrm{A}_{2}$ 表示事件＂第三局甲参加比赛结果为甲负＂，$A$ 表示事件＂第四局甲当裁判＂，可得 $A=A_{1} \bullet A_{2}$ 。利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；
（II）设 $\mathrm{B}_{1}$ 表示事件＂第一局比赛结果为乙胜＂， $\mathrm{B}_{2}$ 表示事件＂第二局乙参加比赛结果为乙胜＂， $\mathrm{B}_{3}$ 表示事件＂第三局乙参加比赛结果为乙胜＂，B表示事件＂前 4 局中乙恰好当 1 次裁判＂．可得 $B=\overline{B_{1}} \cdot B_{3}+B_{1} \cdot B_{2} \cdot \overline{B_{3}}+B_{1} \cdot \overline{B_{2}}$ ，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出。

【解答】解：（I）设 $\mathrm{A}_{1}$ 表示事件＂第二局结果为甲胜＂， $\mathrm{A}_{2}$ 表示事件＂第三局甲参加比赛结果为甲负＂， A 表示事件＂第四局甲当裁判＂。

则 $\mathrm{A}=\mathrm{A}_{1} \cdot \mathrm{~A}_{2}$ ．
$P(A)=P\left(A_{1} \bullet A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ ．
（II）设 $\mathrm{B}_{1}$ 表示事件＂第一局比赛结果为乙胜＂， $\mathrm{B}_{2}$ 表示事件＂第二局乙参加比赛结果为乙胜＂，
$\mathrm{B}_{3}$ 表示事件＂第三局乙参加比赛结果为乙胜＂，B表示事件＂前 4 局中乙恰好当 1 次裁判＂．

则 $\mathrm{B}=\overline{\mathrm{B}_{1}} \cdot \mathrm{~B}_{3}+\mathrm{B}_{1} \cdot \mathrm{~B}_{2} \cdot \overline{\mathrm{~B}_{3}}+\mathrm{B}_{1} \cdot \overline{\mathrm{~B}_{2}}$ ，
则 $P(B)=P\left(\overline{B_{1}} \cdot B_{3}+B_{1} \cdot B_{2} \cdot \overline{B_{3}}+B_{1} \cdot \overline{B_{2}}\right)$
$=\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{B}_{1}} \cdot \mathrm{~B}_{3}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1} \cdot \mathrm{~B}_{2} \cdot \overline{\mathrm{~B}_{3}}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1} \cdot \overline{\mathrm{~B}_{2}}\right)$
$=\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{B}_{1}}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{3}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right) \mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{B}_{3}}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{B}_{2}}\right)$
$=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{5}{8}$ ．
【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键．