若斜率为 3 的直线与 y 轴交于点 A，与圆 x^ 2…——2021 高考数学第 12 题答案解析

【答案】 $\sqrt{3}$
【解析】
【分析】设直线 $A B$ 的方程为 $y=\sqrt{3} x+b$ ，则点 $A(0, b)$ ，利用直线 $A B$ 与圆 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 相切求出 $b$ 的值，求出 $|A C|$ ，利用勾股定理可求得 $|A B|$ ．

【详解】设直线 $A B$ 的方程为 $y=\sqrt{3} x+b$ ，则点 $A(0, b)$ ，
由于直线 $A B$ 与圆 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 相切，且圆心为 $C(0,1)$ ，半径为 1 ，
则 $\frac{|b-1|}{2}=1$ ，解得 $b=-1$ 或 $b=3$ ，所以 $|A C|=2$ ，
因为 $|B C|=1$ ，故 $|A B|=\sqrt{|A C|^{2}-|B C|^{2}}=\sqrt{3}$ ．
故答案为：$\sqrt{3}$ ．