2014_退役省自主命题 (2014·理)
20．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦距为 4 ，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
（1）求椭圆 C 的标准方程；
②设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 $x=-3$ 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ ．
（i）证明： OT 平分线段 PQ （其中 O 为坐标原点）；
（ii）当 $\frac{|T F|}{|P Q|}$ 最小时，求点 T 的坐标．
【答案】
①$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ；
②$T(-3,0)$
## 【解析】
试题分析：①因为焦距为4，所以 $c=2$ ，又 $a=\sqrt{3} b, a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，由此可求出 $a, b$ 的值，从而求得椭圆的方程。②椭圆方程化为 $x^{2}+3 y^{2}=6$ 。设 PQ 的方程为 $x=m y-2$ ，代入椭圆方程得： $\left(m^{2}+3\right) y^{2}-4 m y-2=0$ ．（i）设 PQ 的中点为 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，求出 $k_{O M}, k_{O T}$ ，只要 $k_{O M}=k_{O T}$ ，即证得 OT平 分 线 段 $P Q$（ $i i)$ 可 用 $m$ 表 示 出 $P Q$ ，$T F$ 可 得： $\frac{\mid T F}{|P Q|}=\frac{m^{2}+3}{2 \sqrt{6} \sqrt{m^{2}+1}}=\frac{\left(m^{2}+1\right)+2}{2 \sqrt{6} \sqrt{m^{2}+1}}=\frac{1}{2 \sqrt{6}}\left(\sqrt{m^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{m^{2}+1}}\right) \geq \frac{1}{2 \sqrt{6}} \times 2 \sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
再根据取等号的条件，可得 T 的坐标。
试题解答：①$c=2$ ，又 $a=\sqrt{3} b \Rightarrow b^{2}=2, a^{2}=6, \therefore \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ．
②椭圆方程化为 $x^{2}+3 y^{2}=6$ 。
（i）设 PQ 的方程为 $x=m y-2$ ，代入椭圆方程得：$\left(m^{2}+3\right) y^{2}-4 m y-2=0$ ．
设 PQ 的中点为 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则 $y_{0}=\frac{2 m}{m^{2}+3}, x_{0}=-\frac{6}{m^{2}+3}$
又 TF 的方程为 $y-0=-m(x+2)$ ，则 $x=-3$ 得 $y=m$ ，
所以 $k_{O M}=\frac{y_{0}}{x_{0}}=-\frac{m}{3}=k_{O T}$ ，即 OT 过 PQ 的中点，即 OT 平分线段 PQ ．
（ii）$|P Q|=\sqrt{1+m^{2}} \times \frac{\sqrt{16 m^{2}+8\left(m^{2}+3\right)}}{m^{2}+3}=\frac{2 \sqrt{6}\left(m^{2}+1\right)}{m^{2}+3}$ ，又 $|T F|=\sqrt{1+m^{2}}$ ，所以
$\frac{\mid T F}{|P Q|}=\frac{m^{2}+3}{2 \sqrt{6} \sqrt{m^{2}+1}}=\frac{\left(m^{2}+1\right)+2}{2 \sqrt{6} \sqrt{m^{2}+1}}=\frac{1}{2 \sqrt{6}}\left(\sqrt{m^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{m^{2}+1}}\right) \geq \frac{1}{2 \sqrt{6}} \times 2 \sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
当 $m= \pm 1$ 时取等号，此时 T 的坐标为 $T(-3, \pm 1)$ ．
【考点定位】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题．