（19）（本小题满分 12 分） 先在甲、乙两个靶．某射手…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（12分）（2012．山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 $\frac{3}{4}$ ，命中得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每命中一次得 2 分 ，没有命中得 0 分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（I）求该射手恰好命中一次得的概率；

（II）求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX ．

考点 离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘 ：法公式。
专题 概率与统计。
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分析（I）记：＂该射手恰好命中一次＂为事件A，＂该射手射击甲靶命中＂为事件B，＂该射 ：手第一次射击乙靶命中＂为事件 C ，＂该射手第二次射击乙靶命中＂为事件 D ，由于 $\mathrm{A}=\mathrm{B} \overline{\mathrm{CD}}+\overline{\mathrm{B}} C \overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{BCD}}$ ，根据事件的独立性和互斥性可求出所求；
（II）根据题意， X 的所有可能取值为 $0,1,2,3,4$ ，根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可。
解答 解：（I）记：＂该射手恰好命中一次＂为事件A，＂该射手射击甲靶命中＂为事件B，＂ ：该射手第一次射击乙靶命中＂为事件 C ，＂该射手第二次射击乙靶命中＂为事件 D由题意知 $\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{3}{4}, \mathrm{P}(\mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{D})=\frac{2}{3}$
由于 $\mathrm{A}=\mathrm{B} \overline{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{B}} C \overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{BC}} D$
根据事件的独立性和互斥性得
$P(A)=P(B \overline{C D})+P(\bar{B} C \bar{D})+P(\overline{B C D})=P(B) P(\bar{C}) P(\bar{D})+P(\bar{B}) P(C) P(\bar{D})+P(\bar{B}) P(\bar{C}) P(D)$
$=\frac{3}{4} \times\left(1-\frac{2}{3}\right) \times\left(1-\frac{2}{3}\right)+\left(1-\frac{3}{4}\right) \times \frac{2}{3} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)+\left(1-\frac{3}{4}\right) \times\left(1-\frac{2}{3}\right) \times \frac{2}{3}$
$=\frac{7}{36}$
（II）根据题意， X 的所有可能取值为 $0,1,2,3,4,5$
根据事件的对立性和互斥性得

$$ \begin{aligned} & P(X=0)=P(\overline{B C D})=\left(1-\frac{3}{4}\right) \times\left(1-\frac{2}{3}\right) \times\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{36} \\ & P(X=1)=P(B \overline{C D})=\frac{3}{4} \times\left(1-\frac{2}{3}\right) \times\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{12} \\ & P(X=2)=P(\bar{B} C \bar{D}+\overline{B C D})=P(\bar{B} C \bar{D})+P(\overline{B C D})=\left(1-\frac{3}{4}\right) \times \frac{2}{3} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)+(1- \\ & \left.\frac{3}{4}\right) \times\left(1-\frac{2}{3}\right) \times \frac{2}{3}=\frac{1}{9} \\ & P(X=3)=P(B C \bar{D})+P(B \overline{C D})=\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)+\frac{3}{4} \times\left(1-\frac{2}{3}\right) \times \frac{2}{3}=\frac{1}{3} \\ & P(X=4)=P(\bar{B} C D)=\left(1-\frac{3}{4}\right) \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{9} \\ & P(X=5)=P(B C D)=\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{3} \end{aligned} $$

故X的分布列为

所以 $E(X)=0 \times \frac{1}{36}+1 \times \frac{1}{12}+2 \times \frac{1}{9}+3 \times \frac{1}{3}+4 \times \frac{1}{9}+5 \times \frac{1}{3}=\frac{41}{12}$
点评 本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及分布列和事件的对立性和互斥性，同 ：时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题。