（本小题满分 12 分） 圆 x^ 2 +y^ 2 =4…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（ I ）$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ ；（II）$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$

## 【解析】

试题分析：（I）首先设切点 $P\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)\left(\mathrm{x}_{0}>0, \mathrm{y}_{0}>0\right)$ ，由圆的切线的性质，根据半径 $O P$ 的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为 $x_{0} x+y_{0} y=4$ ，建立目标队＂$S=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{x_{0}} \cdot \frac{4}{y_{0}}=\frac{8}{x_{0} y_{0}}$ 。故要求面积最小值，只需确定 $x_{0} y_{0}$ 的最大值，由 $x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}=4 \geq 2 y_{0}$ 结合目标函数，易求；（II）设椭圆标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$, 点 $P$ 在椭圆上，代入点得 $\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}=1$①，利用弦长公式表示 $|A B|$ ，利用点到直线距离公式求高，进而表示 $\triangle P A B$ 的面积，与（1）联立，可确定 $a, b$ ，进而确定椭圆的标准方程．

试题解析：（I）设切点坐标为 $\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)\left(\mathrm{x}_{0}>0, \mathrm{y}_{0}>0\right)$ 。则切这斜率为 $-\frac{x_{0}}{y_{0}}$ 。切线方程为 $\mathrm{y}-y_{0}=-\frac{x_{0}}{y_{0}}\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{0}\right)$ 。即 $x_{0} x+y_{0} y=4$ 。此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积 $S=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{x_{0}} \cdot \frac{4}{y_{0}}=\frac{8}{x_{0} y_{0}}$ 。由 $x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}=4 \geq 2 x, y$ ，知当且仅当 $x_{0}=y_{0}=\sqrt{2}$ 时，$x_{0} y_{0}$ 有最大值。即 $S$ 有最小值．因此点 $P$ 的坐标为 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ ．
（II）设 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 。点 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ 。由点 $P$ 在 $C$ 上知

$\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}=1$ 。并由 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \\ y=x+\sqrt{3},\end{array}\right.$ 得 $b^{2} x^{2}+4 \sqrt{3} x+6-2 b^{2}=0$ 。又 $x_{1}, x_{2}$ 是方程的根，因此
$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=-\frac{4 \sqrt{3}}{b^{2}} \\ x_{1} x_{2}=\frac{6-2 b^{2}}{b^{2}}\end{array}\right.$ ，由
$y_{1}=x_{1}+\sqrt{3}, y_{2}=x_{2}+\sqrt{3}$ ，得 $|A B|=\sqrt{2}\left|x_{1}-x_{2}\right|=\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{48-24 b^{2}+8 b^{4}}}{b^{2}}$ ．由点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
及 $S_{\triangle P A B}=\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}|A B|=2$ 得 $b^{4}-9 b^{2}+18=0$ 。解得 $b^{2}=6$ 或 3 。因此 $b^{2}=6, a^{2}=3$（舍）或 $b^{2}=3$ ，
$a^{2}=6$ ．从而所求 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ．
【考点定位】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公札和点到直线的距离公式．