【答案】（I）$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ．（II）当直线 $l$ 与椭圆 $C$ 在四个顶点处相切时，$\triangle O P Q$ 的面积取得最小值 8 ．
【解析】（I）因为 $|O M| \leq|M N|+|N O|=3+1=4$ ，当 $M, N$ 在 $x$ 轴上时，等号成立；同理 $|O M| \geq|M N|-|N O|=3-1=2$ ，当 $D, O$ 重合，即 $M N \perp x$ 轴时，等号成立。所以椭圆 $C$ 的中心为原点 $O$ ，长半轴长为 4 ，短半轴长为 2 ，其方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ．
（II）①当直线 $l$ 的斜率不存在时，直线 $l$ 为 $x=4$ 或 $x=-4$ ，都有 $S_{\triangle O P Q}=\frac{1}{2} \times 4 \times 4=8$ ．
②当直线 $l$ 的斜率存在时，设直线 $l: y=k x+m\left(k \neq \pm \frac{1}{2}\right)$ ，由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m, \\ x^{2}+4 y^{2}=16,\end{array}\right.$ 消去 $y$ ，可得 $\left(1+4 k^{2}\right) x^{2}+8 k m x+4 m^{2}-16=0$ 。因为直线 $l$ 总与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，所以 $\Delta=64 k^{2} m^{2}-4\left(1+4 k^{2}\right)\left(4 m^{2}-16\right)=0$ ，即 $m^{2}=16 k^{2}+4$ ．
又由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m, \\ x-2 y=0,\end{array}\right.$ 可得 $P\left(\frac{2 m}{1-2 k}, \frac{m}{1-2 k}\right)$ ；同理可得 $Q\left(\frac{-2 m}{1+2 k}, \frac{m}{1+2 k}\right)$ ．由原点 $O$ 到直线 $P Q$ 的距离为 $d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^{2}}}$ 和 $|P Q|=\sqrt{1+k^{2}}\left|x_{P}-x_{Q}\right|$ ，可得
$$
S_{\triangle O F Q}=\frac{1}{2}|P Q| \cdot d=\frac{1}{2}|m|\left|x_{F}-x_{Q}\right|=\frac{1}{2} \cdot|m|\left|\frac{2 m}{1-2 k}+\frac{2 m}{1+2 k}\right|=\left|\frac{2 m^{2}}{1-4 k^{2}}\right|
$$
将（1）代入②得，$S_{\triangle O P Q}=\left|\frac{2 m^{2}}{1-4 k^{2}}\right|=8 \frac{\left|4 k^{2}+1\right|}{\left|4 k^{2}-1\right|}$ 。当 $k^{2}>\frac{1}{4}$ 时，$S_{\triangle O P Q}=8\left(\frac{4 k^{2}+1}{4 k^{2}-1}\right)=8\left(1+\frac{2}{4 k^{2}-1}\right)>8$ ；当 $0 \leq k^{2}<\frac{1}{4}$时，$S_{\triangle O P Q}=8\left(\frac{4 k^{2}+1}{1-4 k^{2}}\right)=8\left(-1+\frac{2}{1-4 k^{2}}\right)$ ．因 $0 \leq k^{2}<\frac{1}{4}$ ，则 $0<1-4 k^{2} \leq 1, \frac{2}{1-4 k^{2}} \geq 2$ ，所以 $S_{\triangle O P Q}=8\left(-1+\frac{2}{1-4 k^{2}}\right) \geq 8$ ，当且仅当 $k=0$ 时取等号．所以当 $k=0$ 时，$S_{\triangle O P Q}$ 的最小值为 8 ．
综合①②可知，当直线 $l$ 与椭圆 $C$ 在四个顶点处相切时，$\triangle O P Q$ 的面积取得最小值 8 ．
【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题．
【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教学联系在一起，重点考查学生信息获取与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问题，借助函数思想进行求解．其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识．
