（18）（本小题满分 12 分） 甲、乙两个篮球运动员互不…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分 12 分。
（I）解法一：设＂甲投球一次命中＂为事件A，＂乙投球一次命中＂为事件B。
由题意得 $(1-P(B))^{2}=(1-p)^{2}=\frac{1}{16}$
解得 $p=\frac{3}{4}$ 或 $\frac{5}{4}$（舍去），所以乙投球的命中率为 $\frac{3}{4}$ ．
解法二：设设＂甲投球一次命中＂为事件A，＂乙投球一次命中＂为事件B．
由题意得 $P(\bar{B}) P(\bar{B})=\frac{1}{16}$ ，于是 $P(\bar{B})=\frac{1}{4}$ 或 $P(\bar{B})=-\frac{1}{4}$（舍去），故 $p=1-P(\bar{B})=\frac{3}{4}$

所以乙投球的命中率为 $\frac{3}{4}$ ．
（ II ）解法一：由题设和（ I ）知 $P(A)=\frac{1}{2}, P(\bar{A})=\frac{1}{2}$ ．

故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 $1-P(\bar{A} \cdot \bar{A})=\frac{3}{4}$
解法二：
由题设和（I）知 $P(A)=\frac{1}{2}, P(\bar{A})=\frac{1}{2}$
故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 $C_{2}^{1} P(A) P(\bar{A})+P(A) P(A)=\frac{3}{4}$
（III）由题设和（I ）知，$P(A)=\frac{1}{2}, P(\bar{A})=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{3}{4}, P(\bar{B})=\frac{1}{4}$
甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中 2 次。概率分别为
$C_{2}^{1} P(A) P(\bar{A}) \cdot C_{2}^{1} P(B) P(\bar{B})=\frac{3}{16}$ ，
$P(A \cdot A) P(\bar{B} \cdot \bar{B})=\frac{1}{64}$,
$P(\bar{A} \cdot \bar{A}) P(B \cdot B)=\frac{9}{64}$
所以甲、乙两人各投两次，共命中 2 次的概率为 $\frac{3}{16}+\frac{1}{64}+\frac{9}{64}=\frac{11}{32}$ ．