2021_北京卷 (2021)
18.
为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取＂$k$ 合 1 检测法＂，即将 $k$ 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有 100 人，已知其中 2人感染病毒。
（1）（1）若采用＂ 10 合 1 检测法＂，且两名患者在同一组，求总检测次数；
（2）已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$ ，定义随机变量 $X$ 为总检测次数，求检测次数 $X$ 的分布列和数学期望 $E(X)$ ；
（2）若采用＂ 5 合 1 检测法＂，检测次数 $Y$ 的期望为 $E(Y)$ ，试比较 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 的大小（直接写出结果）．
【答案】（1）（1） 20 次；（2）分布列见解析；期望为 $\frac{320}{11}$ ；（2）见解析．
## 【解析】
【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
（2）求出 $X$ 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出 $E(Y)$ ，分类即可得解．
【详解】（1）（1）对每组进行检测，需要 10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要 10 次；所以总检测次数为 20 次；
②由题意，$X$ 可以取20，30，
$P(X=20)=\frac{1}{11}, P(X=30)=1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}$ ，
则 $X$ 的分布列：
| $X$ | 20 | 30 |
|---|---|---|
| $P$ | $\frac{1}{11}$ | $\frac{10}{11}$ |
所以 $E(X)=20 \times \frac{1}{11}+30 \times \frac{10}{11}=\frac{320}{11}$ ；
②由题意，$Y$ 可以取 25,30 ，设两名感染者在同一组的概率为 $p$ ，
$P(Y=25)=p, \quad P(Y=30)=1-p$,
则 $E(Y)=25 p+30(1-p)=30-5 p$ ，
若 $p=\frac{2}{11}$ 时，$E(X)=E(Y)$ ；
若 $p>\frac{2}{11}$ 时，$E(X)>E(Y)$ ；
若 $p<\frac{2}{11}$ 时，$E(X)