在平面直角坐标系 x O y 中，若曲线 y=a x^ 2…——2014 高考数学第 11 题答案解析

【解答】
（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^{2}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}}$（a，b为常数）过点 $P(2,-5)$ ，且该曲线在点 $P$ 处的切线与直线 $7 x+2 y+3=0$ 平行，则 $a+b$ 的值是－－3．

考点 利用导数研究曲线上某点切线方程．
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专题 导数的概念及应用．

分析 由曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{a} \mathrm{x}^{2}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}}$（ $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为常数）过点 $\mathrm{P}(2,-5)$ ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7 x $+2 y+3=0$ 平行，可得 $\left.y\right|_{x=2}=-5$ ，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=2}=-\frac{7}{2}$ ，解方程可得答案．
解答 解：∵ 直线 $7 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+3=0$ 的斜率 $\mathrm{k}=-\frac{7}{2}$ ，
曲线 $y=a x^{2}+\frac{b}{x}$（a，b为常数）过点 $P(2,-5)$ ，且该曲线在点 $P$ 处的切线与直线 $7 x+2$
$\mathrm{y}+3=0$ 平行，
$\therefore \mathrm{y}^{\prime}=2 \mathrm{ax}-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{2}}$ ，
$\therefore\left\{\begin{array}{c}4 a+\frac{b}{2}=-5 \\ 4 a-\frac{b}{4}=-\frac{7}{2}\end{array}\right.$ ，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ b=-2\end{array}\right.$ ，
故 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=-3$ ，
故答案为：－ 3
点评 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到 $\mathrm{y}_{\mathrm{x}=2}=-$ ：5，且 $\left.\mathrm{y}^{\prime}\right|_{\mathrm{x}=2}=-\frac{7}{2}$ ，是解答的关键。