（本小题满分 12 分）设函数 f(x)=a x- b x…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
（12分）（2008 •海南）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}}$ ，曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点 $(2, \mathrm{f}(2))$ 处的切线方程为 $7 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}-12=0$ ．
（1）求 $\mathrm{y}=\mathrm{f}$（ x ）的解析式；
（2）证明：曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 上任一点处的切线与直线 $\mathrm{x}=0$ 和直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义；直线的一般式方程．
【分析】（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（ $2, \mathrm{f}(2$ ））在曲线上，利用方程联立解出 $a, b$
（2）可以设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线 $x=0$ 和直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可。
【解答】解析：（1）方程 $7 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}-12=0$ 可化为 $\mathrm{y}=\frac{7}{4} \mathrm{x}-3$ ，当 $\mathrm{x}=2$ 时， $\mathrm{y}=\frac{1}{2}$ ，
又 $f^{\prime}(x)=a+\frac{b}{x^{2}}$ ，于是 $\left\{\begin{array}{c}2 a-\frac{b}{2}=\frac{1}{2} \\ a+\frac{b}{4}=\frac{7}{4}\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=3\end{array}\right.$ ，故 $f(x)=x-\frac{3}{x}$ ．
②设 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ 为曲线上任一点，由 $\mathrm{y}^{\prime}=1+\frac{3}{\mathrm{x}^{2}}$ 知曲线在点 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ 处的切线方程为
$y-y_{0}=\left(1+\frac{3}{x_{0}^{2}}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ，即 $y-\left(x_{0}-\frac{3}{x_{0}}\right)=\left(1+\frac{3}{x_{0}^{2}}\right)\left(x-x_{0}\right)$
令 $\mathrm{x}=0$ ，得 $\mathrm{y}=-\frac{6}{\mathrm{x}_{0}}$ ，从而得切线与直线 $\mathrm{x}=0$ 的交点坐标为 $\left(0,-\frac{6}{\mathrm{x}_{0}}\right)$ ；
令 $y=x$ ，得 $y=x=2 x_{0}$ ，从而得切线与直线 $y=x$ 的交点坐标为 $\left(2 x_{0}, 2 x_{0}\right)$ ；

所以点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的切线与直线 $x=0, y=x$ 所围成的三角形面积为 $\frac{1}{2}\left|-\frac{6}{x_{0}}\right|\left|2 x_{0}\right|=6$ ．故曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 上任一点处的切线与直线 $\mathrm{x}=0, \mathrm{y}=\mathrm{x}$ 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6 ．

【点评】高考考点：导数及直线方程的相关知识
易错点：运算量大，不仔细而出错。
备考提示：运算能力一直是高考考查的能力之一，近年来，对运算能力的要求降低了，但对准确率的要求提高了。