（本小题满分 13 分）已知三点 O(0,0), A(-2…——2012 高考数学第 11 题答案解析

【答案】：（I ）$x^{2}=4 y$（II） 2

【解析】：（I）由 $\overrightarrow{M A}=(-2-x, 1-y), \overrightarrow{M B}=(2-x, 1-y)$ ，得

$|\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}|=\sqrt{(-2 x)^{2}+(2-2 y)^{2}}$
$\overline{O M} \cdot(\overline{O A}+\overline{O B})=(x, y) \cdot(0,2)=2 y$ 由已知得 $\sqrt{(-2 x)^{2}+(2-2 y)^{2}}=2 y+2$ 化简得曲线
c 的方程是 $x^{2}=4 y$
（II）直线 $P A, P B$ 的方程分别是 $y=-x-1, y=x-1$ ，曲线 C 在 Q 处的切线 $l$ 的方程是
$y=\frac{x_{0}}{2} x-\frac{x_{0}{ }^{2}}{4}$ 且与 $y$ 轴的交点为 $F\left(0,-\frac{x_{0}{ }^{2}}{4}\right)$ 分别联立方程组 $\left\{\begin{array}{c}y=-x-1 \\ y=\frac{x_{0}}{2} x-\frac{x_{0}{ }^{2}}{4}\end{array}\right.$ ，
$\left\{\begin{array}{c}y=x-1 \\ y=\frac{x_{0}}{2} x-\frac{x_{0}^{2}}{4} \text { 解得 } D, E \text { 的横坐标分别是 } x_{D}=\frac{x_{0}-2}{2}, x_{E}=\frac{x_{0}+2}{2} \text { ，则 } 100.0\end{array}\right.$
$x_{E}-x_{D}=2,|F P|=1-\frac{x_{0}{ }^{2}}{4}$
故 $S_{-P D E}=\frac{1}{2}|F P| \cdot\left|x_{E}-x_{D}\right|=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x_{0}{ }^{2}}{4}\right) \cdot 2=\frac{4-x_{0}{ }^{2}}{4}$ 而
$S_{-Q A B}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x_{0}{ }^{2}}{4}\right) \cdot 4=\frac{4-x_{0}{ }^{2}}{2}$,
则 $\frac{S_{-Q A B}}{S_{-F D E}}=2$ 即 $\square Q A B$ 与 $\square P D E$ 的面积之比 2。