（12分）设数列 a_ n 的前 n 项和为 S_ n ．…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【考点】81：数列的概念及简单表示法； 8 H ：数列递推式．

【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（I）依题意得 $S_{n+1}=2 S_{n}+3^{n}$ ，由此可知 $S_{n+1}-3^{n+1}=2\left(S_{n}-3^{n}\right)$ 。所以 $b_{n} =S_{n}-3^{n}=(a-3) 2^{n-1}, n \in N^{*}$.
（II）由题设条件知 $S_{n}=3^{n}+(a-3) 2^{n-1}, n \in N^{*}$ ，于是，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}= 2^{n-2}\left[12 \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-2}+a-3\right]$ ，由此可以求得 $a$ 的取值范围是 $[-9,+\infty)$ ．

【解答】解：（I）依题意，$S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}=S_{n}+3^{n}$ ，即 $S_{n+1}=2 S_{n}+3^{n}$ ，由此得 $S_{n+1}-3^{n+1}=2 S_{n}+3^{n}-3^{n+1}=2 ~\left(S_{n}-3^{n}\right) ~$ 。（4分）

因此，所求通项公式为 $b_{n}=S_{n}-3^{n}=(a-3) 2^{n-1}, n \in N^{*}$ 。（1）（6分）
（II）由（1）知 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=3^{\mathrm{n}}+(\mathrm{a}-3) 2^{\mathrm{n}-1}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，
于是，当 $n \geq 2$ 时，
$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=3^{n}+(a-3) \times 2^{n-1}-3^{n-1}-(a-3) \times 2^{n-2}=2 \times 3^{n-1}+(a-3) 2^{n-2}$,
$a_{n+1}-a_{n}=4 \times 3^{n-1}+(a-3) 2^{n-2}=2^{n-2}\left[12 \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-2}+a-3\right]$ ，
当 $n \geq 2$ 时，$a_{n+1} \geqslant a_{n} \Leftrightarrow 12 \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-2}+a-3 \geqslant 0 \Leftrightarrow a \geq-9$ ．
又 $a_{2}=a_{1}+3>a_{1}$ ．
综上，所求的 a 的取值范围是 $[-9,+\infty)$ 。（12分）
【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．