（本小题满分 13 分） 如图，在正方形 O A B C…——2013 高考数学第 18 题答案解析

［答案］（I）依题意，过 $A_{i}\left(i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9\right)$ 且与 x 轴垂直的直线方程为 $x=i$
$\because B_{i}(10, i), \therefore$ 直线 $O B_{i}$ 的方程为 $y=\frac{i}{10} x$
设 $P_{i}$ 坐标为 $(x, y)$，由 $\left\{\begin{array}{c}x=i \\ y=\frac{i}{10} x\end{array}\right.$ 得：$y=\frac{1}{10} x^{2}$，即 $x^{2}=10 y$，
$\therefore P_{i}\left(i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9\right)$ 都在同一条抛物线上，且抛物线 $E$ 方程为 $x^{2}=10 y$
（II）依题意：直线 $l$ 的斜率存在，设直线 $l$ 的方程为 $y=k x+10$
由 $\left\{\begin{array}{c}y=k x+10 \\ x^{2}=10 y\end{array}\right.$ 得 $x^{2}-10 k x-100=0$
此时 $\Delta=100 k^{2}+400>0$，直线 $l$ 与抛物线 $E$ 恒有两个不同的交点 $M, N$
设：$M\left(x_{1}, y_{1}\right) N\left(x_{2}, y_{2}\right)$，则 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=10 k \\ x_{1} \cdot x_{2}=-100\end{array}\right.$
$\because S_{\triangle O C M}=4 S_{\triangle O C N} \therefore\left|x_{1}\right|=4\left|x_{2}\right|$
又 $\because x_{1} \cdot x_{2}<0, \quad \therefore x_{1}=-4 x_{2}$
分别带入 $\left\{\begin{array}{c}y=k x+10 \\ x^{2}=10 y\end{array}\right.$，解得 $k= \pm \frac{3}{2}$
直线 $l$ 的方程为 $y= \pm \frac{3}{2} x+10$，即 $3 x-2 y+20=0$ 或
$3 x+2 y-20=0$
［解析］此题在问法上给学生设了一个卡，如果第一问直接问 $P_{i}$ 的轨迹方程，估计学生更容易入手一些，不过对于知识要活学活用（证明它求出不就说明问题了）。那么第二问有

关解析几何的计算就要善于转化，且计算要过关。
［ 考点定位］本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化及数形结合思想、函数与方程思想。属于中等难度。