（13 分）设数列 A: a_ 1 , a_ 2 , ,…——2016 高考数学第 20 题答案解析

【考点】81：数列与函数的综合；RG：数学归纳法．
【专题】23：新定义；55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（I）结合＂$G$ 时刻＂的定义进行分析；
（II）可以采用假设法和递推法进行分析；
（III）可以采用假设法和列举法进行分析。

【解答】解：（ I ）根据题干可得，$a_{1}=-2, a_{2}=2, a_{3}=-1, a_{4}=1, a_{5}=3, a_{1}a_{3}$ 不满足条件， 3 不满足条件，
$a_{2}>a_{4}$ 不满足条件， 4 不满足条件，$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ，均小于 $a_{5}$ ，因此5满足条件，因此 $G(A)=\{2,5\}$ ．
（II）因为存在 $a_{n}>a_{1}$ ，设数列 $A$ 中第一个大于 $a_{1}$ 的项为 $a_{k}$ ，则 $a_{k}>a_{1} \geqslant a_{i}$ ，其中 $2 \leqslant i \leqslant k-1$ ，所以 $k \in G(A), G(A) \neq \varnothing$ ；
（III）设 $A$ 数列的所有＂$G$ 时刻＂为 $i_{1}对于第一个＂$G$ 时刻＂$i_{1}$ ，有 $a_{i_{1}}>a_{1} \geqslant a_{i}\left(i=2,3, \ldots, i_{1}-1\right)$ ，则
$a_{i_{1}}-a_{1} \leqslant a_{i_{1}}-a_{i_{1}-1} \leqslant 1$.
对于第二个＂$G$ 时刻＂$i_{1}$ ，有 $a_{i_{2}}>a_{i_{1}} \geqslant a_{i}\left(i=2,3, \ldots, i_{1}-1\right)$ ，则
$a_{i_{2}}-a_{i_{1}} \leqslant a_{i_{2}}-a_{i_{2}-1} \leqslant 1$.
类似的 $a_{i_{3}}-a_{i_{2}} \leqslant 1, \ldots, a_{i_{k}}-a_{i_{k-1}} \leqslant 1$ ．
于是，$k \geqslant\left(a_{i_{k}}-a_{i_{k-1}}\right)+\left(a_{i_{k-1}}-a_{i_{k-2}}\right)+\ldots+\left(a_{i_{2}}-a_{i_{1}}\right)+\left(a_{i_{1}}-a_{1}\right) =a_{i_{l_{k}}}-a_{1}$.

对于 $a_{N}$ ，若 $N \in G$（ $A$ ），则 $a_{i_{k}}=a_{N}$ ．
若 $N \notin G$（A），则 $a_{N} \leqslant a_{i_{k}}$ ，否则由（2）知 $a_{i_{k}}, ~ a_{i_{k+1}}, ~ \ldots, ~ a_{N}$ ，中存在＂$G$ 时刻＂与只有 k 个＂ G 时刻＂矛盾。

从而 $k \geqslant a_{i_{k}}-a_{1} \geqslant a_{N}-a_{1}$ ．
【点评】本题属于新定义题型，重点在于对＂G时刻＂定义的把握，难度较大．