已知函数 f(x)=e^ x -a(x+2) ． （1）当…——2020 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（1）减区间为 $(-\infty, 0)$ ，增区间为 $(0,+\infty)$ ；②$\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$ ．

## 【解析】

## 【分析】

（1）将 $a=1$ 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点，即 $e^{x}-a(x+2)=0$ 有两个解，将其转化为 $a=\frac{e^{x}}{x+2}$ 有两个解，令 $h(x)=\frac{e^{x}}{x+2}(x \neq-2)$ ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果．

【详解】①当 $a=1$ 时，$f(x)=e^{x}-(x+2), f^{\prime}(x)=e^{x}-1$ ，

令 $f^{\prime}(x)<0$ ，解得 $x<0$ ，令 $f^{\prime}(x)>0$ ，解得 $x>0$ ，

所以 $f(x)$ 的减区间为 $(-\infty, 0)$ ，增区间为 $(0,+\infty)$ ；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点，即 $e^{x}-a(x+2)=0$ 有两个解，

从方程可知，$x=2$ 不成立，即 $a=\frac{e^{x}}{x+2}$ 有两个解，
令 $h(x)=\frac{e^{x}}{x+2}(x \neq-2)$ ，则有 $h^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x+2)-e^{x}}{(x+2)^{2}}=\frac{e^{x}(x+1)}{(x+2)^{2}}$ ，
令 $h^{\prime}(x)>0$ ，解得 $x>-1$ ，令 $h^{\prime}(x)<0$ ，解得 $x<-2$ 或 $-2

所以函数 $h(x)$ 在 $(-\infty,-2)$ 和 $(-2,-1)$ 上单调递减，在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，

且当 $x<-2$ 时，$h(x)<0$ ，

而 $x \rightarrow-2^{+}$时，$h(x) \rightarrow+\infty$ ，当 $x \rightarrow+\infty$ 时，$h(x) \rightarrow+\infty$ ，

所以当 $a=\frac{e^{x}}{x+2}$ 有两个解时，有 $a>h(-1)=\frac{1}{e}$ ，
所以满足条件的 $a$ 的取值范围是：$\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$ ．
【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问

题转化为曲线 $y=e^{x}$ 和直线 $y=a(x+2)$ 有两个交点，利用过点 $(-2,0)$ 的曲线 $y=e^{x}$ 的切线斜率，结合图形求得结果．