（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)= 1 4 x…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+x^{3}-\frac{9}{2} x^{2}+c x$ 有三个极值点。
（I）证明：$-27（II）若存在实数 c ，使函数 $f(x)$ 在区间 $[a, a+2]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围。
解：（I）因为函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+x^{3}-\frac{9}{2} x^{2}+c x$ 有三个极值点，
所以 $f^{\prime}(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x+c=0$ 有三个互异的实根．
设 $g(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x+c$ ，则 $g^{\prime}(x)=3 x^{2}+6 x-9=3(x+3)(x-1)$ ，
当 $x<-3$ 时，$g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 在 $(-\infty,-3)$ 上为增函数；
当 $-3当 $x>1$ 时，$g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上为增函数；
所以函数 $g(x)$ 在 $x=-3$ 时取极大值，在 $x=1$ 时取极小值．

当 $g(-3) \leq 0$ 或 $g(1) \geq 0$ 时，$g(x)=0$ 最多只有两个不同实根．
因为 $g(x)=0$ 有三个不同实根，所以 $g(-3)>0$ 且 $g(1)<0$ ．
即 $-27+27+27+c>0$ ，且 $1+3-9+c<0$ ，
解得 $c>-27$ ，且 $c<5$ ，故 $-27（II）由（I）的证明可知，当 $-27

不妨设为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}\left(x_{1}所以 $f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(-\infty, x_{1}\right],\left[x_{2}, x_{3}\right]$

若 $f(x)$ 在区间 $[a, a+2]$ 上单调递减，
则 $[a, a+2] \subset\left(-\infty, x_{1}\right]$ ，或 $[a, a+2] \subset\left[x_{2}, x_{3}\right]$ ，
若 $[a, a+2] \subset\left(-\infty, x_{1}\right]$ ，则 $a+2 \leq x_{1}$ ．由（I）知，$x_{1}<-3$ ，于是 $a<-5$ ．
若 $[a, a+2] \subset\left[x_{2}, x_{3}\right]$ ，则 $a \geq x_{2}$ 且 $a+2 \leq x_{3}$ ．由（I）知，$-3

又 $f^{\prime}(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x+c$ ，当 $c=-27$ 时，$f^{\prime}(x)=(x-3)(x+3)^{2}$ ；

当 $c=5$ 时，$f^{\prime}(x)=(x+5)(x-1)^{2}$ ．

因此，当 $-27-3$ ，且 $a+2<3$ ．

即 $-3

总可找到 $c \in(-27,5)$ ，使函数 $f(x)$ 在区间 $[a, a+2]$ 上单调递减．

综上所述，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,-5) \cup(-3,1)$ ．