（12分）（I）设函数 f(x)=ln (1+x) 2 x…——2011 高考数学第 22 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】（I）欲证明当 $x>0$ 时，$f(x)>0$ ，由于 $f(0)=0$ 利用函数的单调性 ，只须证明 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是单调增函数即可。先对函数进行求导，根据导函数大于 0 时原函数单调递减即可得到答案。
（II）先计算概率 $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{A}_{20}^{100}}{100^{20}}$ ，再证明 $\frac{\mathrm{A}_{20}^{100}}{100^{20}}<\left(\frac{9}{10}\right)^{19}<\frac{100}{90}\left(\frac{90}{100}\right)^{20}$ ，即证明 9 $9 \times 98 \times \ldots \times 81<(90)^{19}$ ，最后证明 $\left(\frac{9}{10}\right)^{19}<\mathrm{e}^{-2}$ ，即证 $\left(\frac{10}{9}\right)^{19}>\mathrm{e}^{2}$ ，即证191 $n \frac{10}{9}>2$ ，即证 $n \frac{102}{919}$ ，而这个结论由（1）所得结论可得

【解答】（I）证明：$\because f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{2(x+2)-2 x}{(x+2)^{2}}=\frac{x^{2}}{(x+2){ }^{2}(x+1)}$ ，
∴ 当 $x>-1$ ，时 $f^{\prime}(x) \geq 0$ ，
$\therefore f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上是单调增函数，
∴ 当 $x>0$ 时，$f(x)>f(0)=0$ ．
即当 $x>0$ 时，$f(x)>0$ ．
（II）从编号1到100的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取 2 0 次，则抽得的 20 个号码互不相同的概率为 $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{A}_{100}^{20}}{100^{20}}$ ，要证 $\mathrm{P}<\left(\frac{9}{10}\right)^{19}<\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}$

先证： $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{A}_{100}^{20}}{100^{20}}<\left(\frac{9}{10}\right)^{19}$ ，即证 $\frac{100 \times 99 \times \cdots \times 81}{100^{20}}<\frac{100}{90}\left(\frac{90}{100}\right)^{20}$
即证 $99 \times 98 \times \ldots \times 81<(90)^{19}$
而 $99 \times 81=(90+9) \times(90-9)=90^{2}-9^{2}<90^{2}$
$98 \times 82=(90+8) \times(90-8)=90^{2}-8^{2}<90^{2} \ldots$
$91 \times 89=(90+1) \times(90-1)=90^{2}-1^{2}<90^{2}$
$\therefore 99 \times 98 \times \ldots \times 81<(90){ }^{19}$

即 $\mathrm{p}<\left(\frac{9}{10}\right)$

再证：$\left(\frac{9}{10}\right)^{19}<\mathrm{e}^{-2}$ ，即证 $\left(\frac{10}{9}\right)^{19}>\mathrm{e}^{2}$ ，即证 $19 \ln \frac{10}{9}>2$ ，即证 $\ln \frac{10}{9}>\frac{2}{19}$
由（I）$f(x)=\ln (1+x)-\frac{2 x}{x+2}$ ，当 $x>0$ 时，$f(x)>0$ ．
令 $\mathrm{x}=\frac{1}{9}$ ，则 $\ln \left(1+\frac{1}{9}\right)-\frac{2 \cdot \frac{1}{9}}{2+\frac{1}{9}}=\ln \left(1+\frac{1}{9}\right)-\frac{2}{19}>0$ ，即 $\ln \frac{10}{9}>\frac{2}{19}$
综上有： $\mathrm{P}<\left(\frac{9}{10}\right)^{19}<\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}$
【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．