如图，在棱长为 2 的正方体 A B C D-A_ 1 B…——2021 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（I）证明见解析；（II）$\frac{\sqrt{3}}{9}$ ；（III）$\frac{1}{3}$ ．
【解析】
【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出 $\overrightarrow{D_{1} F}$ 及平面 $A_{1} E C_{1}$ 的一个法向量 $\vec{m}$ ，证明 $\overrightarrow{D_{1} F} \perp \vec{m}$ ，即可得证；
（II）求出 $\overrightarrow{A C_{1}}$ ，由 $\sin \theta=\left|\cos \left\langle\vec{m}, \overrightarrow{A C_{1}}\right\rangle\right|$ 运算即可得解；
（III）求得平面 $A A_{1} C_{1}$ 的一个法向量 $\overrightarrow{D B}$ ，由 $\cos \langle\overrightarrow{D B}, \vec{m}\rangle=\frac{\overrightarrow{D B} \cdot \vec{m}}{|\overrightarrow{D B}| \cdot|\vec{m}|}$ 结合同角三角函数的平方关系即可得解．

【详解】（I）以 A 为原点，$A B, A D, A A_{1}$ 分别为 $x, y, z$ 轴，建立如图空间直角坐标系，

则 $A(0,0,0), A_{1}(0,0,2), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), C_{1}(2,2,2), D_{1}(0,2,2)$ ，
因为 $E$ 为棱 $B C$ 的中点，$F$ 为棱 $C D$ 的中点，所以 $E(2,1,0), F(1,2,0)$ ，
所以 $\overrightarrow{D_{1} F}=(1,0,-2), \overrightarrow{A_{1} C_{1}}=(2,2,0), \overrightarrow{A_{1} E}=(2,1,-2)$ ，
设平面 $A_{1} E C_{1}$ 的一个法向量为 $\vec{m}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{A_{1} C_{1}}=2 x_{1}+2 y_{1}=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{A_{1} E}=2 x_{1}+y_{1}-2 z_{1}=0\end{array}\right.$ ，令 $x_{1}=2$ ，则 $\vec{m}=(2,-2,1)$ ，
因为 $\overrightarrow{D_{1} F} \cdot \vec{m}=2-2=0$ ，所以 $\overrightarrow{D_{1} F} \perp \vec{m}$ ，
因为 $D_{1} F \not \subset$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ，所以 $D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；
（II）由（1）得， $\overrightarrow{A C_{1}}=(2,2,2)$ ，
设直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角为 $\theta$ ，

则 $\sin \theta=\left|\cos \left\langle\vec{m}, \overrightarrow{A C_{1}}\right\rangle\right|=\left|\frac{\vec{m} \cdot \overrightarrow{A C_{1}}}{|\vec{m}| \cdot\left|\overrightarrow{A C_{1}}\right|}\right|=\frac{2}{3 \times 2 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$ ；
（III）由正方体的特征可得，平面 $A A_{1} C_{1}$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{D B}=(2,-2,0)$ ，
则 $\cos \langle\overrightarrow{D B}, \vec{m}\rangle=\frac{\overrightarrow{D B} \cdot \vec{m}}{|\overrightarrow{D B}| \cdot|\vec{m}|}=\frac{8}{3 \times 2 \sqrt{2}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，
所以二面角 $A-A_{1} C_{1}-E$ 的正弦值为 $\sqrt{1-\cos ^{2}\langle\overrightarrow{D B}, \vec{m}\rangle}=\frac{1}{3}$ ．