已知四棱柱 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_ 1…——2024 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）证明见解析
（2）$\frac{2 \sqrt{22}}{11}$
（3）$\frac{2 \sqrt{11}}{11}$

## 【解析】

【分析】（1）取 $C B_{1}$ 中点 $P$ ，连接 $N P, M P$ ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得 $D_{1} \mathrm{~N} / / M P$ ，结合线面平行判定定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；
（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解．

## 【小问 1 详解】

取 $C B_{1}$ 中点 $P$ ，连接 $N P, M P$ ，
由 $N$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，故 $N P / / C C_{1}$ ，且 $N P=\frac{1}{2} C C_{1}$ ，
由 $M$ 是 $D D_{1}$ 的中点，故 $D_{1} M=\frac{1}{2} D D_{1}=\frac{1}{2} C C_{1}$ ，且 $D_{1} M / / C C_{1}$ ，
则有 $D_{1} M / / N P , D_{1} M=N P$ ，

故四边形 $D_{1} M P N$ 是平行四边形，故 $D_{1} N / / M P$ ，

又 $M P \subset$ 平面 $C B_{1} M, D_{1} N \not \subset$ 平面 $C B_{1} M$ ，
故 $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ；

## 【小问 2 详解】

以 A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，

有 $A(0,0,0) , B(2,0,0) , B_{1}(2,0,2) , M(0,1,1) , C(1,1,0) , C_{1}(1,1,2)$ ，
则有 $\overrightarrow{C B_{1}}=(1,-1,2) , \overrightarrow{C M}=(-1,0,1) , \overrightarrow{B B_{1}}=(0,0,2)$ ，
设平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的法向量分别为 $\vec{m}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) , \vec{n}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ ，
则有 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{C B_{1}}=x_{1}-y_{1}+2 z_{1}=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{C M}=-x_{1}+z_{1}=0\end{array},\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{C B_{1}}=x_{2}-y_{2}+2 z_{2}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B B_{1}}=2 z_{2}=0\end{array}\right.\right.$ ，
分别取 $x_{1}=x_{2}=1$ ，则有 $y_{1}=3 , z_{1}=1 , y_{2}=1, z_{2}=0$ ，
即 $\vec{m}=(1,3,1) , \vec{n}=(1,1,0)$ ，
则 $\cos \vec{m}, \vec{n}=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot|\vec{n}|}=\frac{1+3}{\sqrt{1+9+1} \cdot \sqrt{1+1}}=\frac{2 \sqrt{22}}{11}$ ，
故平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的夹角余弦值为 $\frac{2 \sqrt{22}}{11}$ ；

## 【小问 3 详解】

由 $\overrightarrow{B B_{1}}=(0,0,2)$ ，平面 $C B_{1} M$ 的法向量为 $\vec{m}=(1,3,1)$ ，
则有 $\frac{\left|\overrightarrow{B B_{1}} \cdot \vec{m}\right|}{|\vec{m}|}=\frac{2}{\sqrt{1+9+1}}=\frac{2 \sqrt{11}}{11}$ ，
即点 $B$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{11}}{11}$ ．