已知四棱柱 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_ 1…——2024 高考数学第 17 题答案解析

由题意，$A_1A \perp$ 平面 $ABCD$，$AD \perp AB$，故以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。
由 $AB=AA_1=2, AD=DC=1, AB // CD$，可得各点坐标如下：
$A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,1,0), A_1(0,0,2)$。
因为 $CD // AB$ 且 $CD=1$，所以 $C(1,1,0)$。
进而可得 $B_1(2,0,2), C_1(1,1,2), D_1(0,1,2)$。
由 $N$ 是 $B_1C_1$ 的中点，得 $N(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 2)$；由 $M$ 是 $DD_1$ 的中点，得 $M(0,1,1)$。

（1）取 $CB_1$ 的中点 $P$，连接 $NP, MP$。
$C(1,1,0), B_1(2,0,2) \implies P(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 1)$。
$\overrightarrow{D_1N} = (\frac{3}{2}-0, \frac{1}{2}-1, 2-2) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$。
$\overrightarrow{MP} = (\frac{3}{2}-0, \frac{1}{2}-1, 1-1) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$。
所以 $\overrightarrow{D_1N} = \overrightarrow{MP}$，即 $D_1N // MP$。
又 $MP \subset$ 平面 $CB_1M$，$D_1N \not\subset$ 平面 $CB_1M$，
所以 $D_1N //$ 平面 $CB_1M$。

（2）设平面 $CB_1M$ 的法向量为 $\vec{m}=(x,y,z)$。
$\overrightarrow{CB_1} = (1, -1, 2), \overrightarrow{CM} = (-1, 0, 1)$。
由 $\begin{cases} \vec{m} \cdot \overrightarrow{CB_1} = x - y + 2z = 0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{CM} = -x + z = 0 \end{cases}$，
令 $x=1$，则 $z=1, y=3$，得 $\vec{m}=(1,3,1)$。

设平面 $BB_1C_1C$ 的法向量为 $\vec{n}=(a,b,c)$。
$\overrightarrow{BB_1} = (0, 0, 2), \overrightarrow{BC} = (-1, 1, 0)$。
由 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{BB_1} = 2c = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{BC} = -a + b = 0 \end{cases}$，
得 $c=0, a=b$。令 $a=1$，则 $\vec{n}=(1,1,0)$。

设两平面夹角为 $\theta$，则
$\cos \theta = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{|1\times1 + 3\times1 + 1\times0|}{\sqrt{1^2+3^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{4}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{22}} = \frac{2\sqrt{22}}{11}$。
故平面 $CB_1M$ 与平面 $BB_1C_1C$ 的夹角余弦值为 $\frac{2\sqrt{22}}{11}$。

（3）点 $B(2,0,0)$ 到平面 $CB_1M$ 的距离 $d$ 为向量 $\overrightarrow{CB}$ 在法向量 $\vec{m}$ 方向上的投影长度绝对值（或取平面上任意一点如 $C$ 与 $B$ 构成的向量）。
$\overrightarrow{CB} = (1, -1, 0)$ （注：此处用 $\overrightarrow{BC}$ 或 $\overrightarrow{BM}$ 等均可，结果一致，这里取 $\overrightarrow{BC}=(-1,1,0)$ 计算更直观，或者直接用点到平面距离公式）。
利用公式 $d = \frac{|\overrightarrow{BC} \cdot \vec{m}|}{|\vec{m}|}$。
$\overrightarrow{BC} = (-1, 1, 0)$，$\vec{m} = (1, 3, 1)$。
$\overrightarrow{BC} \cdot \vec{m} = -1 + 3 + 0 = 2$。
$|\vec{m}| = \sqrt{11}$。
所以 $d = \frac{2}{\sqrt{11}} = \frac{2\sqrt{11}}{11}$。