在四棱锥 P-A B C D 中， P D 底面 A B…——2022 高考数学第 18 题答案解析

（1）在底面 $ABCD$ 中，因为 $CD // AB$，$AD=DC=CB=1$，$AB=2$，所以四边形 $ABCD$ 为等腰梯形。
过点 $D$ 作 $DE \perp AB$ 于 $E$，则 $AE = \frac{AB-CD}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$。
在 Rt$\triangle ADE$ 中，$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
在 Rt$\triangle BDE$ 中，$BE = AB - AE = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$，
所以 $BD = \sqrt{DE^2 + BE^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{3}$。
在 $\triangle ABD$ 中，$AD^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 = AB^2$，
由勾股定理逆定理可知 $AD \perp BD$。
因为 $PD \perp$ 平面 $ABCD$，$BD \subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PD \perp BD$。
又因为 $AD \cap PD = D$，$AD, PD \subset$ 平面 $PAD$，
所以 $BD \perp$ 平面 $PAD$。
因为 $PA \subset$ 平面 $PAD$，所以 $BD \perp PA$。

（2）由（1）知 $DA, DB, DP$ 两两垂直，以 $D$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB}, \overrightarrow{DP}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $D-xyz$。
则 $D(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$B(0,\sqrt{3},0)$，$P(0,0,\sqrt{3})$。
所以 $\overrightarrow{AP} = (-1, 0, \sqrt{3})$，$\overrightarrow{BP} = (0, -\sqrt{3}, \sqrt{3})$，$\overrightarrow{DP} = (0, 0, \sqrt{3})$。
设平面 $PAB$ 的法向量为 $\vec{n} = (x, y, z)$，
则 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{AP} = -x + \sqrt{3}z = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{BP} = -\sqrt{3}y + \sqrt{3}z = 0 \end{cases}$，
即 $\begin{cases} x = \sqrt{3}z \\ y = z \end{cases}$。
令 $z=1$，得 $\vec{n} = (\sqrt{3}, 1, 1)$。
设 $PD$ 与平面 $PAB$ 所成的角为 $\theta$，
则 $\sin \theta = |\cos \langle \vec{n}, \overrightarrow{DP} \rangle| = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{DP}|}{|\vec{n}| |\overrightarrow{DP}|} = \frac{|0 + 0 + \sqrt{3}|}{\sqrt{3+1+1} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
故 $PD$ 与平面 $PAB$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$。