在四棱锥 P-A B C D 中， P D 底面 A B…——2022 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；
（2）$\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

## 【解析】

【分析】（1）作 $D E \perp A B$ 于 $E, C F \perp A B$ 于 $F$ ，利用勾股定理证明 $A D \perp B D$ ，根据线面垂直的性质可得 $P D \perp B D$ ，从而可得 $B D \perp$ 平面 $P A D$ ，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点 $D$ 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案．

## 【小问 1 详解】

证明：在四边形 $A B C D$ 中，作 $D E \perp A B$ 于 $E, C F \perp A B$ 于 $F$ ，
因为 $C D / / A B, A D=C D=C B=1, A B=2$ ，

所以四边形 $A B C D$ 为等腰梯形，
所以 $A E=B F=\frac{1}{2}$ ，

故 $D E=\frac{\sqrt{3}}{2}, B D=\sqrt{D E^{2}+B E^{2}}=\sqrt{3}$ ，
所以 $A D^{2}+B D^{2}=A B^{2}$ ，
所以 $A D \perp B D$ ，
因为 $P D \perp$ 平面 $A B C D, B D \subset$ 平面 $A B C D$ ，
所以 $P D \perp B D$ ，
又 $P D \cap A D=D$ ，
所以 $B D \perp$ 平面 $P A D$ ，
又因为 $P A \subset$ 平面 $P A D$ ，
所以 $B D \perp P A$ ；

【小问 2 详解】

解：如图，以点 $D$ 为原点建立空间直角坐标系，
$B D=\sqrt{3}$,
则 $A(1,0,0), B(0, \sqrt{3}, 0), P(0,0, \sqrt{3})$ ，
则 $\overrightarrow{A P}=(-1,0, \sqrt{3}), \overrightarrow{B P}=(0,-\sqrt{3}, \sqrt{3}), \overrightarrow{D P}=(0,0, \sqrt{3})$ ，
设平面 $P A B$ 的法向量 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，
则有 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{A P}=-x+\sqrt{3} z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B P}=-\sqrt{3} y+\sqrt{3} z=0\end{array}\right.$ ，可取 $\vec{n}=(\sqrt{3}, 1,1)$ ，
则 $\cos \langle\vec{n}, \overrightarrow{D P}\rangle=\frac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{D P}}{|\vec{n}||\overrightarrow{D P}|}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，
所以 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．