（15分）如图，已知多面体 A B C A_ 1 B_ 1…——2018 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LW：直线与平面垂直； MI ：直线与平面所成的角．
【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（I）利用勾股定理的逆定理证明 $A B_{1} \perp A_{1} B_{1}, A B_{1} \perp B_{1} C_{1}$ ，从而可得 $A B_{1}$ ⟂平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ ；
（II）以 AC 的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面 $\mathrm{ABB}_{1}$ 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ ，计算 $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}$ 的夹角即可得出线面角的大小。

【解答】（I）证明：$\because A_{1} A \perp$ 平面 $A B C, B_{1} B \perp$ 平面 $A B C$ ，
$\therefore \mathrm{AA}_{1} / / \mathrm{BB}_{1}$ ，
$\because A A_{1}=4, \quad B B_{1}=2, \quad A B=2$ ，
$\therefore A_{1} B_{1}=\sqrt{(A B)^{2}+\left(A_{1} A_{1}-B B_{1}\right)^{2}}=2 \sqrt{2}$ ，
又 $A B_{1}=\sqrt{A B^{2}+B B_{1}^{2}}=2 \sqrt{2}, \quad \therefore A A_{1}^{2}=A B_{1}^{2}+A_{1} B_{1}^{2}$ ，
$\therefore A B_{1} \perp A_{1} B_{1}$ ，
同理可得：$A B_{1} \perp B_{1} C_{1}$ ，

又 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \cap \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}=\mathrm{B}_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{AB}_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ ．
（II）解：取 AC 中点 O ，过 O 作平面 ABC 的垂线 OD ，交 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 于 D ，
$\because A B=B C, \quad \therefore O B \perp O C$,
$\because \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2, \quad \angle \mathrm{BAC}=120^{\circ}, \quad \therefore \mathrm{OB}=1, \quad \mathrm{OA}=\mathrm{OC}=\sqrt{3}$ ，
以 O 为原点，以 $\mathrm{OB}, \mathrm{OC}, \mathrm{OD}$ 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则 $\mathrm{A}(0,-\sqrt{3}, 0), \mathrm{B}(1,0,0), \mathrm{B}_{1}(1,0,2), \mathrm{C}_{1}(0, \sqrt{3}, 1)$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1, \sqrt{3}, 0), \overrightarrow{\mathrm{BB}_{1}}=(0,0,2), \overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}=(0,2 \sqrt{3}, 1)$ ，
设平面 $A B B_{1}$ 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(x, y, z)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BB}_{1}}=0\end{array}\right.$ ，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}x+\sqrt{3} y=0 \\ 2 z=0\end{array}\right.$ ，令 $y=1$ 可得 $\vec{n}=(-\sqrt{3}, 1,0)$ ，
$\therefore \cos <_{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}}{|\overrightarrow{\mathrm{n}}|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}\right|}=\frac{2 \sqrt{3}}{2 \times \sqrt{13}}=\frac{\sqrt{39}}{13}$.
设直线 $\mathrm{AC}_{1}$ 与平面 $\mathrm{ABB}_{1}$ 所成的角为 $\theta$ ，则 $\sin \theta=\left|\cos <\overrightarrow{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}>\right|=\frac{\sqrt{39}}{13}$ ．
∴ 直线 $\mathrm{AC}_{1}$ 与平面 $\mathrm{ABB}_{1}$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{39}}{13}$ ．

【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．