2018_北京卷 (2018·理)
14．（5 分）已知椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，双曲线 $N: \frac{x^{2}}{m^{2}}-\frac{y^{2}}{n^{2}}=1$ ．若双曲线 $N$ 的两条渐近线与椭圆 $M$ 的四个交点及椭圆 $M$ 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}-1$ ；双曲线 N 的离心率为 $\_\_\_\_$ 2 ．
【考点】K4：椭圆的性质； KC ：双曲线的性质．
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程。
【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，双曲线 $N: \frac{x^{2}}{m^{2}}-\frac{y^{2}}{n^{2}}=1$ ．若双曲线 $N$ 的两条渐近线与椭圆 $M$ 的四个交点及椭圆 $M$ 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标（ $\mathrm{c}, 0$ ），正六边形的一个顶点（ $\frac{\mathrm{c}}{2}, \frac{\sqrt{3} \mathrm{c}}{2}$ ），可得： $\frac{c^{2}}{4 a^{2}}+\frac{3 c^{2}}{4 b^{2}}=1, \quad$ 可得 $\frac{1}{4} e^{2}+\frac{3}{4\left(\frac{1}{e^{2}}-1\right)}=1, \quad$ 可得 $e^{4}-8 e^{2}+4=0, e \in(0,1)$,
解得 $\mathrm{e}=\sqrt{3}-1$ ．
同时，双曲线的渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$ ，即 $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}=\sqrt{3}$ ，
可得：$\frac{n^{2}}{m^{2}}=3$ ，即 $\frac{m^{2}+n^{2}}{m^{2}}=4$ ，
可得双曲线的离心率为 $\mathrm{e}=\sqrt{\frac{\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}{\mathrm{~m}^{2}}}=2$ ．
故答案为：$\sqrt{3}-1 ; 2$ 。
【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．