2011_退役省自主命题 (2011·理)
18．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）。有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}$ ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ ；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
②设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E \xi$ ．
【解答】
解：（1）由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ ．
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 $A$ ，则
$P(A)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{5}{16}$ ．
故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 $\frac{5}{16}$ ．
②$\xi$ 可能取的值有 $0,2,4,6,8$ ．
$P(\xi=0)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8} ;$
$P(\xi=2)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{5}{16} ;$
$P(\xi=4)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{5}{16} ;$
$P(\xi=6)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{3}{16} ;$
$P(\xi=8)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$ ．
甲、乙两人所付的租车费用之和 $\xi$ 的分布列为
| $\xi$ | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| $p$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{5}{16}$ | $\frac{5}{16}$ | $\frac{3}{16}$ | $\frac{1}{16}$ |
所以 $E \xi=0 \times \frac{1}{8}+2 \times \frac{5}{16}+4 \times \frac{5}{16}+6 \times \frac{3}{16}+8 \times \frac{1}{16}=\frac{7}{2}$ ．