2015_退役省自主命题 (2015·理)
4．设 $X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】C
【解析】由正态密度曲线的性质可知，$X-N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right) , Y-N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ 的密度曲线分别关于 $x=\mu_{1} , x=\mu_{2}$对称，因此结合所给图象可得 $\mu_{1}<\mu_{2}$ 且 $X-N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right)$ 的密度曲线较 $Y-N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ 的密度曲线＂瘦高＂，所以 $0<\sigma_{1}<\sigma_{2}$ ，所以对任意正数 $t, P(X \leq t) \geq P(Y \leq t)$ ．
【考点定位】正态分布密度曲线．
【名师点睛】正态曲线的性质
（1）曲线在 $x$ 轴的上方，与 $x$ 轴不相交．
（2）曲线是单峰的，它关于直线 $x=\mu$ 对称．
（3）曲线在 $x=\mu$ 处达到峰值 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}$ ．
（4）曲线与 $x$ 轴之间的面积为 1 ．
（5）当 $\sigma$ 一定时，曲线随着 $\mu$ 的变化而沿 $x$ 轴平移，如图甲所示
（6）$\mu$ 一定时，曲线的形状由 $\sigma$ 确定．$\sigma$ 越大，曲线越＂矮胖＂，总体分布越分散；$\sigma$ 越小．曲线越＂瘦高＂。总体分布越集中。如图乙所示．