2014_新课标 I 卷 (2014·理)
18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（I）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 $\overline{\mathrm{x}}$ 和样本方差 $\mathrm{s}^{2}$（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，其中 $\mu$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，$\sigma^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ 。
（i）利用该正态分布，求 $\mathrm{P}(187.8<\mathrm{Z}<212.2)$ ；
（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（187．8，212．2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：$\sqrt{150} \approx 12.2$ ．
若 $Z \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 则 $P(\mu-\sigma
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差； $\mathrm{CP:}$ 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
【专题】11：计算题；51：概率与统计．
【分析】（I）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
（II）（i）由（I）知Z $\sim N(200,150)$ ，从而求出 $P ~(187.8
【解答】解：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均数 $\overline{\mathrm{x}}$ 和样本方差 $\mathrm{s}^{2}$ 分别为 ：
$\bar{x}=170 \times 0.02+180 \times 0.09+190 \times 0.22+200 \times 0.33+210 \times 0.24+220 \times 0.08+230 \times 0.02=200$,
$$ \begin{aligned} s^{2}= & (-30)^{2} \times 0.02+(-20)^{2} \times 0.09+(-10)^{2} \times 0.22+0 \times 0.33+10^{2} \times 0.24+20^{2} \times 0.08+ \\ & 30^{2} \times 0.02=150 \end{aligned} $$
（ II）（ i ）由（ I ）知 $Z \sim \mathrm{~N}(200,150)$ ，从而 $\mathrm{P} ~(187.8
依题意知 $X \sim B(100,0.6826)$ ，所以 $E X=100 \times 0.6826=68.26$ ．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及
概率求解，考查运算能力．