【解答】
（14分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ~(a> \mathrm{b}>0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为 2 ．
（I）求椭圆 E 的方程。
（II）如图，该直线：$y=k_{1} x-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆 $E$ 于 $A$ ，$B$ 两点，$C$ 是椭圆 $E$ 上的一点，直线 $O C$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且看 $k_{1} k_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}, M$ 是线段 $O C$ 延长线上一点，且 $|M C|:|A B|=2$
：3，$\odot \mathrm{M}$ 的半径为 $|\mathrm{MC}|, \mathrm{OS}, \mathrm{OT}$ 是 $\odot \mathrm{M}$ 的两条切线，切点分别为 $\mathrm{S}, \mathrm{T}$ ，求 $\angle \mathrm{SO}$ T 的最大值，并求取得最大值时直线 $l$的斜率．
【解答】解：（I ）由题意知，$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 2 c=2 \\ a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{array}\right.$ ，解得 $a=\sqrt{2}, b=1$ ．
∴ 椭圆 E 的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ ；
（II）设A $\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), B\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1 \\ y=k_{1} x-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$ ，得 $\left(4 k_{1}{ }^{2}+2\right) x^{2}-4 \sqrt{3} k_{1} x-1=0$ ．
由题意得 $\triangle=64 \mathrm{k}_{1}{ }^{2}+8>0$ ．
$\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=\frac{2 \sqrt{3} \mathrm{k}_{1}}{2 \mathrm{k}_{1}{ }^{2}+1}, \quad \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=-\frac{1}{2\left(2 \mathrm{k}_{1}{ }^{2}+1\right)}$.
$\therefore|A B|=\sqrt{1+k_{1}{ }^{2}}\left|x_{1}-x_{2}\right|=\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{1+k_{1}{ }^{2}} \sqrt{1+8 k_{1}{ }^{2}}}{1+2 k_{1}{ }^{2}}$ ．
由题意可知圆 $M$ 的半径 $r$ 为
$r=\frac{2}{3}|A B|=\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{1+k_{1}^{2}} \sqrt{1+8 k_{1}^{2}}}{3}$.
由题意设知， $\mathrm{k}_{1} \mathrm{k}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}, \therefore \mathrm{k}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4 \mathrm{k}_{1}}$ ．
因此直线 $O C$ 的方程为 $y=\frac{\sqrt{2}}{4 k_{1}} x$ ．
联立 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1 \\ y=\frac{\sqrt{2}}{4 k_{1}} x\end{array}\right.$ ，得 $x^{2}=\frac{8 k_{1}^{2}}{1+4 k_{1}^{2}}, y^{2}=\frac{1}{1+4 k_{1}^{2}}$ ．
因此，$|O C|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{\frac{1+8 k_{1}^{2}}{1+4 k_{1}^{2}}}$ ．
由题意可知， $\sin \frac{\angle \mathrm{SOT}}{2}=\frac{r}{r+|O C|}=\frac{1}{1+\frac{|O C|}{r}}$ ．
$\frac{|O C|}{\mathrm{r}}=\frac{\sqrt{\frac{1+8 k_{1}{ }^{2}}{1+4 k_{1}{ }^{2}}}}{\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{1+k_{1}{ }^{2}} \sqrt{1+8 k_{1}{ }^{2}}}{3}}=\frac{3 \sqrt{2} \quad 1+2 k_{1}{ }^{2}}{1+2 k_{1}{ }^{2}}=\frac{1+4 k_{1}{ }^{2}}{4+k_{1}{ }^{2}}$ ．
令 $\mathrm{t}=1+2 \mathrm{k}_{1}{ }^{2}$ ，则 $\mathrm{t}>1, \frac{1}{\mathrm{t}} \in(0,1)$ ，
因此，$\frac{|O C|}{r}=\frac{3}{2 \sqrt{2 t^{2}+t-1}}=\frac{3}{2 \sqrt{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}}}}=\frac{3}{2 \sqrt{-\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4}}} \geq 1$ ．
当且仅当 $\frac{1}{\mathrm{t}}=\frac{1}{2}$ ，即 $\mathrm{t}=2$ 时等式成立，此时 $\mathrm{k}_{1}= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
$\therefore \sin \frac{\angle \mathrm{SOT}}{2} \leqslant \frac{1}{2}$ ，因此 $\frac{\angle \mathrm{SOT}}{2} \leqslant \frac{\pi}{6}$ ．
$\therefore \angle \mathrm{SOT}$ 的最大值为 $\frac{\pi}{3}$ ．
综上所述：$\angle \mathrm{SOT}$ 的最大值为 $\frac{\pi}{3}$ ，取得最大值时直线 $l$ 的斜率为 $\mathrm{k}_{1}= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
