## 18、（本小题满分 12 分） 一个正方体的平面展开…——2015 高考数学第 18 题答案解析

【解析】（I）点 $F, G, H$ 的位置如图所示

（II）平面 $B E G / /$ 平面 $A C H$．证明如下

因为 $A B C D-E F G H$ 为正方体，所以 $B C / / F G, B C=F G$
又 $F G / / E H, F G=E H$，所以 $B C / / E H, B C=E H$
于是 $B C E H$ 为平行四边形
所以 $B E / / C H$
又 $C H \subset$ 平面 $A C H, B E \not \subset$ 平面 $A C H$，
所以 $B E / /$ 平面 $A C H$
同理 $B G / /$ 平面 $A C H$
．$B E \cap B G=B$
所以平面 $B E G / /$ 平面 $A C H$

（III）连接 $F H$

因为 $A B C D-E F G H$ 为正方体，所以 $D H \perp$ 平面 $E F G H$
因为 $E G \subset$ 平面 $E F G H$，所以 $D H \perp E G$
又 $E G \perp F H, E G \cap F H=O$，所以 $E G \perp$ 平面 $B F H D$
又 $D F \subset$ 平面 $B F D H$，所以 $D F \perp E G$
同理 $D F \perp B G$
．$E G \cap B G=G$
所以 $D F$ ⟂平面 $B E G$．
【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力．

【名师点睛】本题引入了几何体表面的折展问题，对空间想象能力要求较高。立体几何的证明一定要详细写出所有步骤，列举（推证）出所有必备的条件，如在（II）中证明两个平面平行时，除了找到两组平行线外，一定不能忘掉＂相交＂这个条件；同样，（III）中证明线面垂直，也不能忘掉＂$E G \cap B G=G$＂这个条件。属于中档题。