2015 高考数学第 18 题答案解析

20、（本小题满分 13 分）
如图，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P(0,1)$ 在短轴 $C D$ 上，且 $\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P D}=-1$
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设 $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A , B$ 两点。是否存在常数 $\lambda$ ，使得 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}+\lambda \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 为定值？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由．