（10分）等差数列 a_ n 中， a_ 7 =4, a_…——2013 高考数学第 17 题答案解析

【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．

【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）由 $a_{7}=4, a_{19}=2 a_{9}$ ，结合等差数列的通项公式可求 $a_{1}, d$ ，进而可求 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$
（II）由 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{na}_{\mathrm{n}}}=\frac{2}{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}=\frac{2}{\mathrm{n}}-\frac{2}{\mathrm{n}+1}$ ，利用裂项求和即可求解
【解答】解：（I）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$
$\because a_{7}=4, \quad a_{19}=2 a_{9}$,
$\therefore\left\{\begin{array}{l}a_{1}+6 d=4 \\ a_{1}+18 d=2\left(a_{1}+8 d\right)\end{array}\right.$
解得，$a_{1}=1, d=\frac{1}{2}$
$\therefore a_{n}=1+\frac{1}{2}(n-1)=\frac{1+n}{2}$
（II）$\because b_{n}=\frac{1}{n a_{n}}=\frac{2}{n(n+1)}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$
$\therefore \mathrm{s}_{\mathrm{n}}=2\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{1}{\mathrm{n}+1}\right)$
$=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2 n}{n+1}$
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易