2015_新课标 I 卷 (2015·理)
17．（12分） $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 为数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和，已知 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}>0, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}{ }^{2}+2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=4 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}+3$
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式：
（II）设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。
【考点】8E：数列的求和； 8 H ：数列递推式．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式：
（II）求出 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$ ，利用裂项法即可求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。
【解答】解：（I）由 $a_{n}{ }^{2}+2 a_{n}=4 S_{n}+3$ ，可知 $a_{n+1}{ }^{2}+2 a_{n+1}=4 S_{n+1}+3$
两式相减得 $a_{n+1}{ }^{2}-a_{n}{ }^{2}+2\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=4 a_{n+1}$ ，
即2 $\left(a_{n+1}+a_{n}\right)=a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=\left(a_{n+1}+a_{n}\right)\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$,
$\because a_{n}>0, \quad \therefore a_{n+1}-a_{n}=2$ ，
$\because a_{1}{ }^{2}+2 a_{1}=4 a_{1}+3$,
$\therefore a_{1}=-1$（舍）或 $a_{1}=3$ ，
则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 3 ，公差 $d=2$ 的等差数列，
$\therefore\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}=3+2(n-1)=2 n+1$ ：
（II）$\because a_{n}=2 n+1$ ，
$\therefore b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\frac{1}{(2 n+1)(2 n+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+3}\right)$ ，
∴ 数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{2 \mathrm{n}+1}-\frac{1}{2 \mathrm{n}+3}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2 \mathrm{n}+3}\right)= \frac{n}{3(2 n+3)}$.
【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．