设抛物线 C: y^ 2 =2 p x(p>0) 的焦点为…——2022 高考数学第 20 题答案解析

【答案】①$y^{2}=4 x$ ；
②$A B: x=\sqrt{2} y+4$ ．

## 【解析】

【分析】①由抛物线的定义可得 $|M F|=p+\frac{p}{2}$ ，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线 $M N: x=m y+1$ ，由韦达定理及斜率公式可得 $k_{M N}=2 k_{A B}$ ，再由差角的正
切公式及基本不等式可得 $k_{A B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，设直线 $A B: x=\sqrt{2} y+n$ ，结合韦达定理可解．

## 【小问 1 详解】

抛物线的准线为 $x=-\frac{p}{2}$ ，当 $M D$ 与 $x$ 轴垂直时，点 $M$ 的横坐标为 $p$ ，此时 $|M F|=p+\frac{p}{2}=3$ ，所以 $p=2$ ，

所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=4 x$ ；
【小问 2 详解】

**方法一**：【最优解】直线方程横截式

设 $M\left(\frac{y_{1}^{2}}{4}, y_{1}\right), N\left(\frac{y_{2}^{2}}{4}, y_{2}\right), A\left(\frac{y_{3}^{2}}{4}, y_{3}\right), B\left(\frac{y_{4}^{2}}{4}, y_{4}\right)$ ，直线 $M N: x=m y+1$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}x=m y+1 \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ 可得 $y^{2}-4 m y-4=0, \Delta>0, y_{1} y_{2}=-4$ ，
由斜率公式可得 $k_{M N}=\frac{y_{1}-y_{2}}{\frac{y_{1}^{2}}{4}-\frac{y_{2}^{2}}{4}}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}, k_{A B}=\frac{y_{3}-y_{4}}{\frac{y_{3}^{2}}{4}-\frac{y_{4}^{2}}{4}}=\frac{4}{y_{3}+y_{4}}$ ，
直线 $M D: x=\frac{x_{1}-2}{y_{1}} \cdot y+2$ ，代入抛物线方程可得 $y^{2}-\frac{4\left(x_{1}-2\right)}{y_{1}} \cdot y-8=0$ ，
$\Delta>0, y_{1} y_{3}=-8$ ，所以 $y_{3}=2 y_{2}$ ，同理可得 $y_{4}=2 y_{1}$ ，
所以 $k_{A B}=\frac{4}{y_{3}+y_{4}}=\frac{4}{2\left(y_{1}+y_{2}\right)}=\frac{k_{M N}}{2}$
又因为直线 $M N , A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ ，所以 $k_{A B}=\tan \beta=\frac{k_{M N}}{2}=\frac{\tan \alpha}{2}$ ，
若要使 $\alpha-\beta$ 最大，则 $\beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，设 $k_{M N}=2 k_{A B}=2 k>0$ ，则
$\tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}=\frac{k}{1+2 k^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{k}+2 k} \leq \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{k} \cdot 2 k}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$,
当且仅当 $\frac{1}{k}=2 k$ 即 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，等号成立，
所以当 $\alpha-\beta$ 最大时，$k_{A B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，设直线 $A B: x=\sqrt{2} y+n$ ，
代入抛物线方程可得 $y^{2}-4 \sqrt{2} y-4 n=0$ ，
$\Delta>0, y_{3} y_{4}=-4 n=4 y_{1} y_{2}=-16$ ，所以 $n=4$ ，
所以直线 $A B: x=\sqrt{2} y+4$ ．

**方法二**：直线方程点斜式

由题可知，直线 $M N$ 的斜率存在．
设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right), A\left(x_{3}, y_{3}\right), B\left(x_{4}, y_{4}\right)$ ，直线 $M N: y=k(x-1)$
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x-1) \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ 得：$k^{2} x^{2}-\left(4 k^{2}+4\right) x+4 k^{2}=0, x_{1} x_{2}=4$ ，同理，$y_{1} y_{2}=-4$ 。

直线 $M D: y=\frac{y_{1}}{x_{1}-2}(x-2)$ ，代入抛物线方程可得：$x_{1} x_{3}=4$ ，同理，$x_{2} x_{4}=4$ ．
代入抛物线方程可得：$y_{1} y_{3}=-8$ ，所以 $y_{3}=2 y_{2}$ ，同理可得 $y_{4}=2 y_{1}$ ，
由斜率公式可得：$k_{A B}=\frac{y_{4}-y_{3}}{x_{4}-x_{3}}=\frac{2\left(y_{2}-y_{1}\right)}{4\left(\frac{1}{x_{2}}-\frac{1}{x_{1}}\right)}=\frac{y_{2}-y_{1}}{2\left(x_{2}-x_{1}\right)}=\frac{1}{2} k_{M N}$ ．
（下同方法一）若要使 $\alpha-\beta$ 最大，则 $\beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，
设 $k_{M N}=2 k_{A B}=2 k>0$ ，则 $\tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}=\frac{k}{1+2 k^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{k}+2 k} \leq \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{k} \cdot 2 k}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，
当且仅当 $\frac{1}{k}=2 k$ 即 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，等号成立，
所以当 $\alpha-\beta$ 最大时，$k_{A B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，设直线 $A B: x=\sqrt{2} y+n$ ，
代入抛物线方程可得 $y^{2}-4 \sqrt{2} y-4 n=0, \Delta>0, y_{3} y_{4}=-4 n=4 y_{1} y_{2}=-16$ ，所以 $n=4$ ，所以直线 $A B: x=\sqrt{2} y+4$.

**方法三**：三点共线

设 $M\left(\frac{y_{1}^{2}}{4}, y_{1}\right), N\left(\frac{y_{2}^{2}}{4}, y_{2}\right), A\left(\frac{y_{3}^{2}}{4}, y_{3}\right), B\left(\frac{y_{4}^{2}}{4}, y_{4}\right)$ ，
设 $P(t, 0)$ ，若 $P , M , N$ 三点共线，由 $\overrightarrow{P M}=\left(\frac{y_{1}^{2}}{4}-t, y_{1}\right), \overrightarrow{P N}=\left(\frac{y_{2}^{2}}{4}-t, y_{2}\right)$
所以 $\left(\frac{y_{1}^{2}}{4}-t\right) y_{2}=\left(\frac{y_{2}^{2}}{4}-t\right) y_{1}$ ，化简得 $y_{1} y_{2}=-4 t$ ，
反之，若 $y_{1} y_{2}=-4 t$ ，可得 $M N$ 过定点 $(t, 0)$
因此，由 $M , N , F$ 三点共线，得 $y_{1} y_{2}=-4$ ，

由 $M , D , A$ 三点共线，得 $y_{1} y_{3}=-8$ ，

由 $N , D , B$ 三点共线，得 $y_{2} y_{4}=-8$ ，
则 $y_{3} y_{4}=4 y_{1} y_{2}=-16, A B$ 过定点 $(4,0)$

（下同方法一）若要使 $\alpha-\beta$ 最大，则 $\beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，
设 $k_{M N}=2 k_{A B}=2 k>0$ ，则 $\tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}=\frac{k}{1+2 k^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{k}+2 k} \leq \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{k} \cdot 2 k}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，
当且仅当 $\frac{1}{k}=2 k$ 即 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，等号成立，
所以当 $\alpha-\beta$ 最大时，$k_{A B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，所以直线 $A B: x=\sqrt{2} y+4$ ．
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线 $M N, A B$ 的斜率关系，由基本不等式即可求出直线 $A B$ 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；

法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线 $A B$ 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．