2015_上海卷 (2015·理)
21、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分．
已知椭圆 $x^{2}+2 y^{2}=1$ ，过原点的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别于椭圆交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 和 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ ，记得到的平行四边形 ABCD 的面积为 $S$ ．
①设 $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{C}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，用 $\mathrm{A} , \mathrm{C}$ 的坐标表示点 C 到直线 $l_{1}$ 的距离，并证明 $S=2\left|x_{1} y_{1}-x_{2} y_{1}\right| ;$
②设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ ，求面积 $S$ 的值．
【答案】（1）详见解析②$S=\sqrt{2}$
【解析】证明：①直线 $l_{1}: y_{1} x-x_{1} y=0$ ，点 C 到 $l_{1}$ 的距离 $d=\frac{\left|y_{1} x_{2}-x_{1} y_{2}\right|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}$ ．
$|\mathrm{AB}|=2|\mathrm{OA}|=2 \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$,
所以 $S=2 S_{\triangle A B C}=2 \times \frac{1}{2}|\mathrm{AB}| \cdot d=2\left|x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right|$ ．
解：（2）设 $l_{1}: y=k x$ ，则 $l_{2}: y=-\frac{1}{2 k} x$ ．设
$\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \quad \mathrm{C}\left(x_{2}, y_{2}\right)$.
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x \\ x^{2}+2 y^{2}=1\end{array}\right.$ ，得 $x_{1}^{2}=\frac{1}{1+2 k^{2}}$ ．
同理 $x_{2}^{2}=\frac{1}{1+2\left(-\frac{1}{2 k}\right)^{2}}=\frac{2 k^{2}}{2 k^{2}+1}$ ．
由①$S=2\left|x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right|=2\left|\frac{x_{1} \cdot x_{2}}{2 k}+x_{2} \cdot k x_{1}\right|=\frac{2 k^{2}+1}{|k|} \cdot\left|x_{1} x_{2}\right|=\frac{\left(2 k^{2}+1\right)|\sqrt{2} k|}{|k| \sqrt{1+2 k^{2}} \cdot \sqrt{2 k^{2}+1}}$ ，整理得 $S=\sqrt{2}$ ．