（本小题共14分） 已知椭圆 G: x^ 2 a^ 2 +…——2011 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（共14分）

解：（I）由已知得 $c=2 \sqrt{2}, \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

解得 $a=2 \sqrt{3}$ ．

又 $b^{2}=a^{2}-c^{2}=4$ 。

所以椭圆 G 的方程为 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ．
（II）设直线 $/$ 的方程为 $y=x+m$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}y=x+m \\ \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{4}=1\end{array}\right.$ 得

$$ 4 x^{2}+6 m x+3 m^{2}-12=0 $$

设 A 、 B 的坐标分别为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\left(x_{1}

则 $x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=-\frac{3 m}{4}$ ，

$$ y_{0}=x_{0}+m=\frac{m}{4} $$

因为 $A B$ 是等腰 $\triangle P A B$ 的底边，
所以 $P E \perp A B$ ．
所以 PE 的斜率 $k=\frac{2-\frac{m}{4}}{-3+\frac{3 m}{4}}=-1$ ．
解得 $m=2$ 。
此时方程（1）为 $4 x^{2}+12 x=0$ ．

解得 $x_{1}=-3, x_{2}=0$ ．
所以 $y_{1}=-1, y_{2}=2$ ．

所以 $|\mathrm{AB}|=3 \sqrt{2}$ ．
此时，点 $\mathrm{P}(-3,2)$ 到直线 $\mathrm{AB}: x-y+2=0$ 的距离 $d=\frac{|-3-2+2|}{\sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，
所以 $\triangle \mathrm{PAB}$ 的面积 $\mathrm{S}=\frac{1}{2}|A B| \cdot d=\frac{9}{2}$ ．