【解答】
定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为＂$M$ 一数列＂。
（1）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{2} a_{4}=a_{5}, a_{3}-4 a_{2}+4 a_{1}=0$ ，求证：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂M一数列＂；
（2）已知数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{1}=1, \frac{1}{S_{n}}=\frac{2}{b_{n}}-\frac{2}{b_{n+1}}$ ，其中 $S_{n}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $m$ 为正整数，若存在＂M一数列＂$\left\{c_{n}\right\} \theta$ ，对任意正整数 $k$ ，当 $k \leqslant m$ 时，都有 $c_{k} \leq b_{k} \leq c_{k+1}$ 成立，求 $m$的最大值．
【答案】（1）见解析；
（2）①$b_{n}=n\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ；（2） 5 ．
## 【解析】
【分析】
①由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；
（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，据此即可确定其通项公式；
②由①确定 $b_{k}$ 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得 $m$ 的最大值
【详解】①设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，所以 $a_{1} \neq 0, q \neq 0$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}a_{2} a_{4}=a_{5} \\ a_{3}-4 a_{2}+4 a_{1}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}^{2} q^{4}=a_{1} q^{4} \\ a_{1} q^{2}-4 a_{1} q+4 a_{1}=0\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 \\ q=2\end{array}\right.$ ．
因此数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂$M$ —数列＂．
（2）（1）因为 $\frac{1}{S_{n}}=\frac{2}{b_{n}}-\frac{2}{b_{n+1}}$ ，所以 $b_{n} \neq 0$ ．
由 $b_{1}=1, S_{1}=b_{1}$ 得 $\frac{1}{1}=\frac{2}{1}-\frac{2}{b_{2}}$ ，则 $b_{2}=2$ ．
由 $\frac{1}{S_{n}}=\frac{2}{b_{n}}-\frac{2}{b_{n+1}}$ ，得 $S_{n}=\frac{b_{n} b_{n+1}}{2\left(b_{n+1}-b_{n}\right)}$ ，
当 $n \geq 2$ 时，由 $b_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ ，得 $b_{n}=\frac{b_{n} b_{n+1}}{2\left(b_{n+1}-b_{n}\right)}-\frac{b_{n-1} b_{n}}{2\left(b_{n}-b_{n-1}\right)}$ ，
整理得 $b_{n+1}+b_{n-1}=2 b_{n}$ ．
所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项和公差均为 1 的等差数列．
因此，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为 $b_{n}=n\left(n \in N^{*}\right)$ ．
②由①知，$b_{k}=k, k \in N^{*}$ ．
因为数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 为＂$M$－数列＂，设公比为 $q$ ，所以 $c_{1}=1, q>0$ ．
因为 $c_{k} \leq b_{k} \leq c_{k+1}$ ，所以 $q^{k-1} \leq k \leq q^{k}$ ，其中 $k=1,2,3, \ldots, m$ ．
当 $k=1$ 时，有 $q \geq 1$ ；
当 $k=2, ~ 3, ~ \ldots, ~ m$ 时，有 $\frac{\ln k}{k} \leq \ln q \leq \frac{\ln k}{k-1}$ ．
设 $f(x)=\frac{\ln x}{x}(x>1)$ ，则 $f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$ ．
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，得 $x=e$ 。列表如下：
| $x$ | （1，e） | $e$ | （e，$+\infty$ ） |
|---|
| $f^{\prime}(x)$ | ＋ | 0 | － |
| $f(x)$ | ⇒ | 极大值 |  |
因为 $\frac{\ln 2}{2}=\frac{\ln 8}{6}<\frac{\ln 9}{6}=\frac{\ln 3}{3}$ ，所以 $f(k)_{\text {max }}=f(3)=\frac{\ln 3}{3}$ ．
取 $q=\sqrt[3]{3}$ ，当 $k=1,2,3,4,5$ 时，$\frac{\ln k}{k}, \ln q$ ，即 $k \leq q^{k}$ ，
经检验知 $q^{k-1} \leq k$ 也成立。
因此所求 $m$ 的最大值不小于 5 ．
若 $m \geq 6$ ，分别取 $k=3,6$ ，得 $3 \leq q^{3}$ ，且 $q^{5} \leq 6$ ，从而 $q^{15} \geq 243$ ，且 $q^{15} \leq 216$ ，
所以 $q$ 不存在．因此所求 $m$ 的最大值小于 6 ．
综上，所求 $m$ 的最大值为 5 ．
【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力。
## 数学 II（附加题）
【选做题】本题包括 $21 , 22 , 23$ 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．