【答案】①$p=\frac{1}{3} \quad$②$a_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{3}-\frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}}, n \text { 为奇数 } \\ \frac{4}{3}+\frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}}, n \text { 为倶数 }\end{array}\right.$ 或 $a_{n}=\frac{4}{3}+\frac{(-1)^{n}}{3 \cdot 2^{n-1}}$
## 【解析】
试题分析：（1）利用数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的单调性，得到 $a_{n+1}-a_{n}$ 叫符号去捍 $\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=p^{n}$ 的绝对值，再分布令 $n=1$ ， 2 得到 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 之间的关系，再利用题目已知等龵中项的性 品坚关于 $p$ 的等式，即可求出 $p$ 的值。
（2）根据数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 在 $n$ 为奇数和偶数的单调性，得到 $a_{2 n+1}>a_{2 n-1}$ 且 $a_{2 n+2}a_{2 n+2}-a_{2 n+1}$ ，根据题意可得 $\left|a_{2 n}-a_{2 n-1}\right|=\frac{1}{2^{2 n-1}},\left|a_{2 n+2}-a_{2 n+1}\right|=\frac{1}{2^{2 n+1}}$ 结合 $a_{2 n}-a_{2 n-1}>a_{2 n+2}-a_{2 n+1}$ 与 $\frac{1}{2^{2 n-1}}>\frac{1}{2^{2 n}}$ 可去掉 $\left|a_{2 n}-a_{2 n-1}\right|=\frac{1}{2^{2 n-1}},\left|a_{2 n+2}-a_{2 n+1}\right|=\frac{1}{2^{2 n+1}}$ 的绝对值，分 $n$ 为奇或偶数，利用烅加法即可求出数列 $a_{n}$ 的通项公式。
试题解析：（1）因为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为速增数列，所以 $a_{n+1}-a_{n} \geq 0$ ，则 $\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=p^{n} \Rightarrow a_{n+1}-a_{n}=p^{n}$ ，分别令 $n=1,2$ 可得 $a_{2}-a_{1}=p, a_{3}-a_{2}=p^{2} \rightarrow a_{2}=1+p, a_{3}=p^{2}+p+1$ ，因为 $a_{1}, 2 a_{2}, 3 a_{3}$ 成等差数列，所以 $4 a_{2}=a_{1}+3 a_{3} \Rightarrow 4(1+p)=1+3\left(p^{2}+p+1\right) \Rightarrow 3 p^{2}-p=0 \Rightarrow p=\frac{1}{3}$ 或 0 ，
当 $p=0$ 时，数列 $a_{n}$ 为常数数列不符合数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是迹增数列，所以 $p=\frac{1}{3}$ ．
②由题可得 $\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=\frac{1}{2^{n}} \Rightarrow\left|a_{2 n}-a_{2 n-1}\right|=\frac{1}{2^{2 n-1}}!\left|a_{2 n-2}-a_{2 n+1}\right|=\frac{1}{2^{2 n+1}}$ ，因为 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是迷增数列且 $\left\{a_{2 n}\right\}$是速减数列，所以 $a_{2 n+1}>a_{2 n-1}$ 且 $a_{2 n+2}②由题可得 $\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=\frac{1}{2^{n}} \Rightarrow\left|a_{2 n}-a_{2 n-1}\right|=\frac{1}{2^{2 n-1}},\left|a_{2 n+2}-a_{2 n-1}\right|=\frac{1}{2^{2 n+1}}$ ，因为 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是速增数列且 $\left\{a_{2 n}\right\}$是速减数列，所以 $a_{2 n+1}-a_{2 n-1}>0$ 且 $a_{2 n+2}-a_{2 n}<0 \Rightarrow-\left(a_{2 n+2}-a_{2 n}\right)>0$ ，两不等式相加可得 $a_{2 n+1}-a_{2 n-1}-\left(a_{2 n+2}-a_{2 n}\right)>0 \Rightarrow a_{2 n}-a_{2 n-1}>a_{2 n+2}-a_{2 n+1}$,
又因为 $\left|a_{2 n}-a_{2 n-1}\right|=\frac{1}{2^{2 n-1}}>\left|a_{2 n+2}-a_{2 n+1}\right|=\frac{1}{2^{2 n+1}}$ ，所以 $a_{2 n}-a_{2 n-1}>0$ ，即 $a_{2 n}-a_{2 n-1}=\frac{1}{2^{2 n-1}}$ ，
同理可得 $a_{2 n+3}-a_{2 n+2}>a_{2 n+1}-a_{2 n}$ 且 $\left|a_{2 n+3}-a_{2 n+2}\right|<\left|a_{2 n+1}-a_{2 n}\right|$ ，所以 $a_{2 n+1}-a_{2 n}=-\frac{1}{2^{2 n}}$ ，
则当 $n=2 m\left(m \in N^{*}\right)$ 时，$a_{2}-a_{1}=\frac{1}{2}, a_{3}-a_{2}=-\frac{1}{2^{2}}, a_{4}-a_{3}=\frac{1}{2^{3}}, \cdots, a_{2 m}-a_{2 m-1}=\frac{1}{2^{2 m-1}}$ ，这 $2 m-1$ 个等
式相加可得 $a_{2 m}-a_{1}=\left(\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{2 m-1}}\right)-\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{4}}+\cdots+\frac{1}{2^{2 m-2}}\right)$
$=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2 m-1}} \cdot \frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{2^{2 m-2}} \cdot \frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3 \cdot 2^{2 m-1}} \Rightarrow a_{2 m}=\frac{4}{3}+\frac{1}{3 \cdot 2^{2 \cdot-1}}$.
当 $n=2 m+1$ 时，$a_{2}-a_{1}=\frac{1}{2}, a_{3}-a_{2}=-\frac{1}{2^{2}}, a_{4}-a_{2}=\frac{1}{2^{-}}, \cdots, a_{2 m+1}-a_{2 m}=-\frac{1}{2^{2 m}}$ ，这 $2 m$ 个等式相加可得
$a_{2 m+1}-a_{1}=\left(\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{2 m-1}}\right)-\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{4}}+\cdots+\frac{1}{2^{2 m}}\right)=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2 m-1}} \cdot \frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{2^{2 m}} \cdot \frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3 \cdot 2^{2 m}}$
$a_{2 m+1}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3 \cdot 2^{2 m}}$ ，当 $m=0$ 时，$a_{1}=1$ 符合，故 $a_{2 m-1}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3 \cdot 2^{2 m-2}}$
综上 $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{3}-\frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}}, n \text { 为奇数 } \\ \frac{4}{3}+\frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ 。
## 【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列 数列单调性