2010 高考数学第 19 题答案解析

20．（本题满分 13 分）本题共有 2 个小题，第一个小题满分 5 分，第 2 个小题满分 8 分。
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}=n-5 a_{n}-85, n \in N^{*}$
（1）证明：$\left\{a_{n}-1\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式，并求出 n 为何值时，$S_{n}$ 取得最小值，并说明理由。
（2）$S_{n}=n+75\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-90 \quad \mathrm{n}=15$ 取得最小值