（本题满分 13 分）本题共有 2 个小题，第一个小题满分…——2010 高考数学第 19 题答案解析

解析：（1）当 $n=1$ 时，$a_{1}=-14$ ；当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=-5 a_{n}+5 a_{n-1}+1$ ，所以 $a_{n}-1=\frac{5}{6}\left(a_{n-1}-1\right)$ ，又 $a_{1}-1=-15 \neq 0$ ，所以数列 $\left\{a_{n}-1\right\}$ 是等比数列；
②
由（1）知：$a_{n}-1=-15 \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}$ ，得 $a_{n}=1-15 \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}$ ，从而 $S_{n}=75 \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}+n-90\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ；

解不等式 $S_{n}\log _{\frac{5}{6}} \frac{2}{25}+1 \approx 14.9$ ，当 $n \geq 15$ 时，数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 单调递增；
同理可得，当 $n \leq 15$ 时，数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 单调递减；故当 $n=15$ 时，$S_{n}$ 取得最小值．

## 21、（本大题满分 13 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 8 分．

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，骨架把圆柱底面 8 等份，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）。
（1）当圆柱底面半径 $r$ 取何值时，$S$ 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米）；
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为 0.3 米时，求图中两根直线 $A_{1} B_{3}$ 与 $A_{3} B_{5}$ 所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）解析：（1）

设圆柱形灯笼的母线长为 $l$ ，则 $l=1.2-2 r(0

$$ \overrightarrow{A_{3} B_{5}}=(-0.3,-0.3,0.6), $$

设向量 $\overrightarrow{A_{1} B_{3}}$ 与 $\overrightarrow{A_{3} B_{5}}$ 的夹角为 $\theta$ ，则 $\cos \theta=\frac{\overrightarrow{A_{1} B_{3}} \cdot \overrightarrow{A_{3} B_{5}}}{\left|\overrightarrow{A_{1} B_{3}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{A_{3} B_{5}}\right|}=\frac{2}{3}$ ，所以 $A_{1} B_{3} , A_{3} B_{5}$ 所在异面直线所成角的大小为 $\arccos \frac{2}{3}$ ．