（14 分）已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x…——2018 高考数学第 18 题答案解析

【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GP：两角和与差的三角函数．
【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】（I）由已知条件即可求 $r$ ，则 $\sin (\alpha+\pi)$ 的值可得；
（II）由已知条件即可求 $\sin \alpha, \cos \alpha, \cos (\alpha+\beta)$ ，再由 $\cos \beta=\cos [(\alpha+\beta)-\alpha]=\cos$ （ $\alpha+\beta$ ） $\cos \alpha+\sin (\alpha+\beta) \sin \alpha$ 代值计算得答案。

【解答】解：（ I ）∵ 角 $\alpha$ 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点 $\mathrm{P}\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$ ．
$\therefore x=-\frac{3}{5}, \quad y=-\frac{4}{5}, \quad r=|O P|=\sqrt{\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}}=1$ ，
$\therefore \sin (\alpha+\pi)=-\sin \alpha=-\frac{y}{r}=\frac{4}{5}$ ；
（II）由 $x=-\frac{3}{5}, y=-\frac{4}{5}, r=|O P|=1$ ，
得 $\sin \alpha=-\frac{4}{5}, \quad \cos \alpha=-\frac{3}{5}$ ，
又由 $\sin (\alpha+\beta)=\frac{5}{13}$ ，
得 $\cos (\alpha+\beta)= \pm \sqrt{1-\sin ^{2}(\alpha+\beta)}= \pm \sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^{2}}= \pm \frac{12}{13}$ ，
则 $\cos \beta=\cos [(\alpha+\beta)-\alpha]=\cos (\alpha+\beta) \cos \alpha+\sin (\alpha+\beta) \sin \alpha= \frac{12}{13} \times\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{5}{13} \times\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{56}{65}$,

或 $\cos \beta=\cos [(\alpha+\beta)-\alpha]=\cos (\alpha+\beta) \cos \alpha+\sin (\alpha+\beta) \sin \alpha= -\frac{12}{13} \times\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{5}{13} \times\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{16}{65}$.

$\therefore \cos \beta$ 的值为 $-\frac{56}{65}$ 或 $\frac{16}{65}$ ．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．