已知函数 f(x)=A sin (ω x+ ) (x R,…——2012 高考数学第 18 题答案解析

【解析】（ I ）又题设图象知，周期 $T=2\left(\frac{11 \pi}{12}-\frac{5 \pi}{12}\right)=\pi$ ，所以 $\omega=\frac{2 \pi}{T}=2$ 。
因为点 $\left(\frac{5 \pi}{12}, 0\right)$ 在函数图象上，所以 $A \sin \left(2 \times \frac{5 \pi}{12}+\varphi\right)=0$ ，即 $\sin \left(\frac{5 \pi}{6}+\varphi\right)=0$ ，
又因为 $0<\varphi<\frac{\pi}{2}$ ，所以 $\frac{5 \pi}{6}<\frac{5 \pi}{6}+\varphi<\frac{4 \pi}{3}$ 。从而 $\frac{5 \pi}{6}+\varphi=\pi$ ，即 $\varphi=\frac{\pi}{6}$ ．
又点 $(0,1)$ 在函数图象上，所以 $A \sin \frac{\pi}{6}=1$ ，得 $A=2$ 。
故函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ ．
（II）$g(x)=2 \sin \left[2\left(x-\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\right]-2 \sin \left[2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\right]=2 \sin 2 x-2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$

$=2 \sin 2 x-2\left(\frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x\right)=\sin 2 x-\sqrt{3} \cos 2 x=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ ．
由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leq 2 x-\frac{\pi}{3} \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{2}$ ，得 $k \pi-\frac{\pi}{12} \leq x \leq k \pi+\frac{5 \pi}{12}, k \in Z$ ．
所以函数 $g(x)$ 的单调递增区间是 $\left[k \pi-\frac{\pi}{12}, k \pi+\frac{5 \pi}{12}\right], k \in Z$ ．
【考点定位】三角函数的图像与性质．