一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的…——2008 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
（5分）（2008 •海南）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 $\sqrt{3}$ ，底面周长为 3 ，那么这个球的体积为 $\_\_\_\_$ $\frac{4 \pi}{3}$。
【考点】球的体积和表面积；棱柱的结构特征．
【专题】计算题；综合题；压轴题。
【分析】先求正六棱柱的体对角线，就是外接球的直径，然后求出球的体积．
【解答】解：∵ 正六边形周长为 3 ，得边长为 $\frac{1}{2}$ ，故其主对角线为 1 ，从而球的直径
$2 \mathrm{R}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=2$ ，
$\therefore \mathrm{R}=1$ ，
∴ 球的体积 $\mathrm{V}=\frac{4}{3} \pi$
故答案为：$\frac{4 \pi}{3}$ ．
【点评】正六棱柱及球的相关知识，易错点：空间想象能力不强，找不出球的直径．空间想象能力是立体几何中的一个重要能力之一，平时要加强培养。