（12分）（2011•山东）等比数列 a_ n 中。 a_…——2011 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（12分）（2011•山东）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中。 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 中的任何两个数不在下表的同一列．

（I）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）如数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+(-1)^{\mathrm{n}} \ln \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ 的前 n 项和 $\mathrm{s}_{\mathrm{n}}$ 。

考点：等比数列的通项公式；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列。
分析：（I）由表格可看出 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 分别是2， 6,18 ，由此可求出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项和公比，继而可求通项公式
（II）先写出 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ 发现 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ 由一个等比数列、一个等差数列乘（－1）${ }^{\mathrm{n}}$ 的和构成 ，故可分组求和．
解答：解：（I ）当 $a_{1}=3$ 时，不合题意
当 $a_{1}=2$ 时，当且仅当 $a_{2}=6, \quad a_{3}=18$ 时符合题意
当 $a_{1}=10$ 时，不合题意
因此 $a_{1}=2, a_{2}=6, a_{3}=18$ ，所以 $q=3$ ，
所以 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=2 \bullet 3^{\mathrm{n}-1}$ ．
（II） $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+(-1){ }^{\mathrm{n}} \ln \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$
$=2 \cdot 3^{\mathrm{n}-1}+(-1)^{\mathrm{n}}[(\mathrm{n}-1) \ln 3+\ln 2]$
$=2 \cdot 3^{\mathrm{n}-1}+(-1)^{\mathrm{n}}(\ln 2-\ln 3)+(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{n} \ln 3$
所以 $\mathrm{s}_{\mathrm{n}}=2\left(1+3+\ldots+3^{\mathrm{n}-1}\right)+\left[-1+1-1+1+\ldots+(-1)^{\mathrm{n}}\right](\ln 2-\ln 3)+[-1+2$
$\left.-3+4-\ldots+(-1){ }^{n} n\right] \ln 3$
所以当 $n$ 为偶数时，$s_{n}=2 \times \frac{1-3^{n}}{1-3}+\frac{n}{2} \ln 3=3^{n}+\frac{n}{2} \ln 3-1$

当 $n$ 为奇数时，$s_{n}=2 \times \frac{1-3^{n}}{1-3}-(\ln 2-\ln 3)+\left(\frac{n-1}{2}-n\right) \ln 3=$
$3^{n}-\frac{n-1}{2} \ln 3-\ln 2-1$

$$ \text { 综上所述 } \mathrm{s}_{\mathrm{n}}= \begin{cases}3^{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{n}}{2} \ln 3-1 & \mathrm{n} \text { 为偶数 } \\ 3^{\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{n}-1}{2} \ln 3-\ln 2-1 & \mathrm{n} \text { 为奇数 }\end{cases} $$

点评：本题考查了等比数列的通项公式，以及数列求和的方法，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个中档题．