（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=x-a ln…——2013 高考数学第 17 题答案解析

［答案］函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty), f^{\prime}(x)=1-\frac{a}{x}$．
（I）当 $a=2$ 时，$f(x)=x-2 \ln x, f^{\prime}(x)=1-\frac{2}{x}(x>0), \therefore f①=1, f^{\prime}(1)=-1$，

$\therefore y=f(x)$ 在点 $A(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y-1=-(x-1)$，即 $x+y-2=0$．
（II）由 $f^{\prime}(x)=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}, x>0$ 可知：
①当 $a \leq 0$ 时，$f^{\prime}(x)>0$，函数 $f(x)$ 为 $(0,+\infty)$ 上的增函数，函数 $f(x)$ 无极值；
②当 $a>0$ 时，由 $f^{\prime}(x)=0$，解得 $x=a$；
$\because x \in(0, a)$ 时，$f^{\prime}(x)<0, x \in(a,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$
$\therefore f(x)$ 在 $x=a$ 处取得极小值，且极小值为 $f(a)=a-a \ln a$，无极大值．
综上：当 $a \leq 0$ 时，函数 $f(x)$ 无极值
当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处取得极小值 $a-a \ln a$，无极大值．
［解析］此题考查的是㖩基本的函数切线问题及对极值含参情况的讨论，所以导数公式必需牢记，对于参数的讨论找到一个合理的分类标准做到不重不漏即可，可这往往又是学生最容易出现问题的地方。
［ 考点定位］本题主要考查函数与导数、不等式的基础。注意对参数的分类讨论，属于函数中的简单题。