2020_新课标 I 卷 (2020·理)
19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【答案】①$\frac{1}{16}$ ；（2）$\frac{3}{4}$ ；（3）$\frac{7}{16}$ ．
## 【解析】
【分析】
（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件＂甲连胜四场＂的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概
率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率．
【详解】（1）记事件 $M$ ：甲连胜四场，则 $P(M)=\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}$ ；
（2）记事件 $A$ 为甲输，事件 $B$ 为乙输，事件 $C$ 为丙输，则四局内结束比赛的概率为
$P^{\prime}=P(A B A B)+P(A C A C)+P(B C B C)+P(B A B A)=4 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{4}$,
所以，需要进行第五场比赛的概率为 $P=1-P^{\prime}=\frac{3}{4}$ ；
（3）记事件 $A$ 为甲输，事件 $B$ 为乙输，事件 $C$ 为丙输，
记事件 $M$ ：甲赢，记事件 $N$ ：丙赢，
则甲赢的基本事件包括：$B C B C , A B C B C , A C B C B ,$
$B A B C C , B A C B C , B C A C B , B C A B C , B C B A C$ ，
所以，甲赢的概率为 $P(M)=\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+7 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=\frac{9}{32}$ ．
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 $P(N)=1-2 \times \frac{9}{32}=\frac{7}{16}$ ．
【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题．