（5 分）如图， AB 为圆 O 的直径， PA 为圆 O…——2013 高考数学第 11 题答案解析

【考点】NC：与圆有关的比例线段．
【专题】5B：直线与圆．
【分析】由 $P D: D B=9: 16$ ，可设 $P D=9 x, D B=16 x$ ．利用切割线定理可得 $P A^{2}=P D \cdot P B$ ，即可求出 $x$ ，进而得到 $P D, P B . A B$ 为圆 $O$ 的直径，$P A$ 为圆 $O$ 的切线，利用切线的性质可得 $A B \perp P A$ ．再利用勾股定理即可得出 $A B$ ．

【解答】解：由 $P D$ ：$D B=9$ ： 16 ，可设 $P D=9 x, D B=16 x$ ．
$\because P A$ 为圆 $O$ 的切线，$\therefore P A^{2}=P D \cdot P B$ ，
$\therefore 3^{2}=9 x \cdot(9 x+16 x)$ ，化为 ${ }_{x}{ }^{2}=\frac{1}{25}, \therefore x=\frac{1}{5}$ ．
$\therefore \mathrm{PD}=9 \mathrm{x}=\frac{9}{5}, \quad \mathrm{~PB}=25 \mathrm{x}=5$ ．
$\because A B$ 为圆 $O$ 的直径，$P A$ 为圆 $O$ 的切线，$\therefore A B \perp P A$ ．
$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{\mathrm{PB}^{2}-\mathrm{PA}^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$.
故答案分别为 $\frac{9}{5}, 4$ 。
【点评】熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．