2016_新课标 I 卷 (2016·文)
19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元 ．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
记x表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）， n 表示购机的同时购买的易损零件数。
（I）若 $\mathrm{n}=19$ ，求 y 与 x 的函数解析式；
（II）若要求＂需更换的易损零件数不大于 n ＂的频率不小于 0.5 ，求 n 的最小值；
（III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 ，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？
【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8
：频率分布直方图．
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；51：概率与统计．
【分析】（I）若 $\mathrm{n}=19$ ，结合题意，可得 y 与 x 的分段函数解析式；
（II）由柱状图分别求出各组的频率，结合＂需更换的易损零件数不大于 n ＂的频率不小于 0.5 ，可得 n 的最小值；
（III）分别求出每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案。
【解答】解：（I ）当 $\mathrm{n}=19$ 时，
$y=\left\{\begin{array}{l}19 \times 200, \quad x \leqslant 19 \\ 19 \times 200+(x-19) \times 500, \quad x>1 \leq\end{array}=\left\{\begin{array}{l}3800, \quad x \leqslant 19 \\ 500 x-5700, \quad x>19\end{array}\right.\right.$
（II）由柱状图知，更换的易损零件数为 16 个频率为 0.06 ，
更换的易损零件数为 17 个频率为 0.16 ，
更换的易损零件数为 18 个频率为 0.24 ，
更换的易损零件数为 19 个频率为 0.24
又 ∵ 更换易损零件不大于 n 的频率为不小于 0.5 ．
则 $\mathrm{n} \geq 19$
$\therefore \mathrm{n}$ 的最小值为 19 件；
（III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，
所须费用平均数为：$\frac{1}{100}(70 \times 19 \times 200+4300 \times 20+4800 \times 10)=4000$（元）
假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 20 个易损零件，
所须费用平均数为 $\frac{1}{100}(90 \times 4000+10 \times 4500)=4050$（元）
$\because 4000<4050$
∴ 购买 1 台机器的同时应购买 19 台易损零件。
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档。