2012_老新课标卷 (2012·文)
18．（12分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（I）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 $n$（单位：枝，$n \in N$ ）的函数解析式．
（II）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
| 日需求量 n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
（i）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率．
【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；BB：众数、中位数、平均数；CS ：概率的应用．
【专题】15：综合题；51：概率与统计．
【分析】（ I ）根据卖出一枝可得利润 5 元，卖不出一枝可得赔本 5 元，即可建立分段函数；
（II）（i）这 100 天的日利润的平均数，利用 100 天的销售量除以 100 即可得到结论；
（ii）当天的利润不少于 75 元，当且仅当日需求量不少于 16 枝，故可求当天的利润不少于 75 元的概率．
【解答】解：（I ）当日需求量 $\mathrm{n} \geq 17$ 时，利润 $\mathrm{y}=85$ ；当日需求量 $\mathrm{n}<17$ 时，利润 $\mathrm{y}=10 \mathrm{n}-85 ; ~(4$ 分）
∴ 利润 $y$ 关于当天需求量 $n$ 的函数解析式 $y=\left\{\begin{array}{l}10 n-85, n<17 \\ 85, n \geqslant 17\end{array}\left(n \in N^{*}\right) \quad\right.$（6分）
（II）（i）这 100 天的日利润的平均数为 $\frac{55 \times 10+65 \times 20+75 \times 16+85 \times 54}{100}=76.4$元；（9分）
（ii）当天的利润不少于 75 元，当且仅当日需求量不少于 16 枝，故当天的利润不少于 75 元的概率为 $\mathrm{P}=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7$ ．（12分）
【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．